Ableitung einer Integralfunktion

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Croomer Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung einer Integralfunktion
Meine Frage:
Sei mit


Zeigen Sie, dass die Abbildung I auf ganz total differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung im Punkt für

Meine Ideen:
Nach einer Proposition in unserer Vorlesung sind Riemann-Integrale linear.
Dann wollte ich zeigen, dass I beschränkt ist:

Allerdings weiß ich nicht, wie ich das Quadrat aus der Norm bekommen kann.

Zur Ableitung: Ich habe versucht das mit
zu bestimmen:

Ich verstehe allerdings den Teil mit nicht so ganz.
Der müsste dann ja sein. Wenn ich einsetze kommt 0 raus, was gefordert wird. Aber was hat es mit dem auf sich? Das fehlt mir ja :/

Ich freue mich über jedwege Hilfe smile
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RE: Ableitung einer Integralfunktion
Riemannintegrale sind schon linear, aber deine Abbildung I ist es nicht. Sonst könnte man ja auch die Ableitung direkt hinschreiben smile

Dein Ansatz zur Ableitung ist richtig, du biegst nur in der vorletzten Zeile falsch ab:

Der erste Summand ist schon linear in . Den zweiten Summanden schreibst du als
Croomer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung einer Integralfunktion
Jetzt verstehe ich erst was ich ja machen muss: eben die lineare Abbildung suchen.

Ich habe einfach so lange umgeformt bis ich gesehen habe und war dann von so überrascht, dass ich es als T angesehen habe, obwohl es garnicht linear ist.

Mein r muss doch erfüllen, oder? Wenn ich das für überprüfe, würde ich aber durch Null teilen.

Mein Versuch die Differenzierbarkeit zu zeigen ist daran gescheitert, dass ich einen Beweis für die Stetigkeit angefangen habe...
Ich versuche es also nochmal:

Damit I differenzierbar ist, muss

gelten. Passt hier das Argument, dass das Quadrat im Integral schneller 0 wird, als der Normausdruck?
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RE: Ableitung einer Integralfunktion
Nein, es muss nur gelten
Das Argument ist richtig.
Croomer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung einer Integralfunktion
Komisch, so steht es in meinem Script, ich werde da nochmal nachfragen.

Aber es macht auch nur Sinn, dass der Limes gegen null laufen muss.

Wir haben später sogar aufgeschrieben, dass man das auch mit dem Landauschen Symbol aufschreiben kann, was ja eben als dieser Limes definiert ist.

Danke für deine Hilfe, du hast mir wirklich geholfen smile
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RE: Ableitung einer Integralfunktion
Um sich einen Kandidaten für die Ableitung zu beschaffen, ist es manchmal einfacher, zunächst Richtungsableitungen zu betrachten: Für festes betrachtet man die reelle Funktion und dann . Das liefert hier . Also wird man vermuten - und muss dann nachweisen.
 
 
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