Aufsteigende Kette von Unterräumen

Neue Frage »

09.05.2018, 16:44	Dmpartyrock	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufsteigende Kette von Unterräumen Meine Frage: Hallo,wäre fuer Tipps und Ansätze offen. Meine Ideen: Ich denke,dass es mir helfen könnte vorher das zu zeigen: Aus $\begin{eqnarray} Ker(\lambda -\alpha)^{n-1}=Ker(\lambda -\alpha)^{n} \Rightarrow Ker(\lambda - \alpha)^{n}=Ker(\lambda-\alpha)^{n+1} \end{eqnarray}$
09.05.2018, 18:51	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufsteigende Kette von Unterräumen Das ist ein guter Gedanke
09.05.2018, 19:59	Dmpartyrock	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin gerade dabei zu beweisen,dass die Kette echt ansteigt.Habe auch schon bewiesen,dass $\begin{eqnarray} Ker(\lambda - \alpha)^{n}\subseteq Ker(\lambda-\alpha)^{n+1} \end{eqnarray}$ .Wie kann ich jetzt noch zeigen,dass $\begin{eqnarray} Ker(\lambda - \alpha)^{n}\neq Ker(\lambda-\alpha)^{n+1} \end{eqnarray}$ .Finde kein bestimmtes Element, das zwar Teil von $\begin{eqnarray} Ker(\lambda- \alpha)^{n+1} \end{eqnarray}$ ,aber kein Teil von $\begin{eqnarray} Ker(\lambda-\alpha)^{n} \end{eqnarray}$ ist.
09.05.2018, 20:15	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei endlichdimensionalem V kann die Kette der Unterräume gar nicht beliebig lange echt ansteigen. Du wolltest doch zeigen, dass die beiden Kerne gleich sind, und das war ein guter Gedanke. Hat man gezeigt, dass die Kette ab einem gewissen Punkt stationär wird, überlegt man was passiert, wenn das schon vor der m-ten Potenz passiert.
09.05.2018, 20:41	Dmpartyrock	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab jetzt einerseits bewiesen,dass es ein m gibt,ab dem die Kette stationär wird.Und habe dann noch gezeigt,dass ab diesem m gilt: $\begin{eqnarray} ker(\lambda - \alpha)^{m}=ker(\lambda - \alpha)^{m+k} \end{eqnarray}$ Kannst du den Punkt mit „ ... überlegt man was passiert, wenn das schon vor der m-ten Potenz passiert.“ mal näher erläutern.Muss ich das in meinem Beweis berücksichtigen ?
09.05.2018, 20:49	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Diesen Exponenten jetzt auch m zu nennen ist nicht die beste Idee, weil der in der Aufgabenstellung schon verwendet wird. Sei es drum. Du weißt jetzt also, dass die Kette der Unterräume ab einer gewissen Potenz stationär wird. Du sollst zeigen, dass die Kette der Unterräume erst ab dem speziellen m wie in der Aufgabenstellung definiert stationär wird. Dazu überlegt man, was passiert, wenn die Kette der Unterräume schon vor der m-ten Potenz stationär wird. Bei der Überlegung werden dann die besonderen Eigenschaften des Minimalpolynoms eine Rolle spielen.
Anzeige

09.05.2018, 21:49	Dmpartyrock	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja besonders ist an dem Minimalpoynom eigentlich nur,dass es das Polynom mit minimalen Grad ist von allen $\begin{eqnarray} P \in K[x] \end{eqnarray}$ für das gilt P(A)=0. Wenn die Kette schon vorher aufhört,dann wäre ja m nicht die algebraische Vielfachheit,sondern der Punkt an dem es aufhört oder?
09.05.2018, 21:55	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Und diese Eigenschaften des Minimalpolynoms musst du jetzt ausnutzen. Ich gebe dir noch einen Tipp: Sind f und g zwei Endomorphismen von V mit fg=0, dann gibt es eine Beziehung zwischen Bild(g) und Ker(f).
09.05.2018, 22:09	Dmpartyrock	Auf diesen Beitrag antworten »
Bild(g) $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ Kern(f).Wie mir das aber weiterhelfen soll,da habe ich keine Ahnung
09.05.2018, 22:22	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann benutze $\begin{eqnarray} 0=M_\varphi(\varphi)=(\lambda - \varphi)^m q(\varphi) \end{eqnarray}$ wobei q ein Polynom ist.
09.05.2018, 23:39	Dmpartyrock	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} M_\varphi(\varphi)=(\lambda - \varphi)^m q(\varphi) \end{eqnarray}$ wobei q ein Polynom ist und gelte $\begin{eqnarray} Ker(\lambda-\varphi)^{r}=Ker(\lambda-\varphi)^{m} \end{eqnarray}$ ,wobei r<m: Dann folgt $\begin{eqnarray} V= Ker(\lambda-\varphi)^{r} \oplus Ker(q(\varphi)) \end{eqnarray}$ Wie kann ich jetzt das Minimalpolynom sinnvoll einsetzen?
10.05.2018, 08:35	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze $\begin{eqnarray} f=(\lambda -\varphi)^m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g=q(\varphi) \end{eqnarray}$ und verwende $\begin{eqnarray} Bild(g) \subset Kern(f) \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} Ker(\lambda -\varphi)^r=Ker(\lambda -\varphi)^m \end{eqnarray}$
10.05.2018, 15:05	Dmpartyrock	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} M_\varphi(\varphi)=(\lambda - \varphi)^m q(\varphi) \end{eqnarray}$ wobei q ein Polynom ist und gelte $\begin{eqnarray} Ker(\lambda-\varphi)^{r}=Ker(\lambda-\varphi)^{m} \end{eqnarray}$ ,wobei r<m: Da gilt : $\begin{eqnarray} (\lambda - \varphi)^m q(\varphi)=0 \rightarrow Im(q(\varphi)) \subset Ker(\lambda-\varphi)^{m} \end{eqnarray}$ Da auch gilt: $\begin{eqnarray} Ker(\lambda-\varphi)^{r}=Ker(\lambda-\varphi)^{m} \rightarrow Im(q(\varphi)) \subset Ker(\lambda-\varphi)^{r} \rightarrow (\lambda - \varphi)^r q(\varphi)=0 \end{eqnarray}$ Dann wäre aber $\begin{eqnarray} 0=(\lambda - \varphi)^r q(\varphi)=M_{\varphi}(\varphi). \end{eqnarray}$
10.05.2018, 15:16	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzte Schlussfolgerung ist nicht zwingend, weil nirgends steht, dass du das kleinste mögliche r genommen hast. Abgesehen davon hättest du aber ein Polynom gefunden, das von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ annuliert wird und kleineren Grad als das Minimalpolyn hat und damit einen Widerspruch.
10.05.2018, 15:28	Dmpartyrock	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok ich verstehe.Hätte ich damit die Aufgabe erledigt oder muss ich noch etwas beweisen.

Neue Frage »

Antworten »

Aufsteigende Kette von Unterräumen

Verwandte Themen