Numerische Differentation

10.05.2018, 12:04	Mimi123	Auf diesen Beitrag antworten »
Numerische Differentation Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe hier eine Aufgabe zur numerischen Differentation mit der ich Probleme habe. Aufgabe: Konstruieren Sie eine symmetrischen finiten Ausdruck der Form $\begin{eqnarray} [latex]f''(x)=\sum\limits_{i=-2}^{2} c_{i} f(x+ih)+O(h^{n}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (h->0) \end{eqnarray}$ mit möglichst großer lokaler Fehlerordnung n. Meine Ideen: Hab daraus $\begin{eqnarray} f''(x)= c_{-2} f(x-2h)+c_{-1} f(x-1h)+c_{0} f(x)+c_{1} f(x+h)+c_{2} f(x+2h)+O(h^{n}) \end{eqnarray}$ herausgekriegt. Weiß jetzt leider nicht mehr weiter.
10.05.2018, 16:31	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zur numerischen Differentation Schreibe zunächst für die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ rein formal die ersten 5 bis 6 Terme der Taylorreihe auf. Beende diese mit dem entsprechenden Fehlerterm. Werte anschließend $\begin{eqnarray} \forall i \end{eqnarray}$ der Summe die Taylorreihe an den Stellen $\begin{eqnarray} x+ih \end{eqnarray}$ aus. Wenn du jetzt diese Auswertungen (Taylorreihen) mit den gesuchten $\begin{eqnarray} c_i \end{eqnarray}$ multiplizierst, ergeben sich Ausdrücke für $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f'(x) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f''(x) \end{eqnarray}$ evtl. noch weitere. Erstelle für die Berechnung der $\begin{eqnarray} c_i \end{eqnarray}$ ein lineares Gleichungssystem mit den Bedingungen: vgl $\begin{eqnarray} <br /> f''(x)=\sum\limits_{i=-2}^{2} c_{i} f(x+ih)+O(h^{n}) <br /> \end{eqnarray}$ die Summe der Koeffizienten bei $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ muss 0 sein, ebenso für $\begin{eqnarray} f'(x) \end{eqnarray}$ . Aber für $\begin{eqnarray} f''(x) \end{eqnarray}$ muss sich 1 ergeben. Für $\begin{eqnarray} f^{(3)}(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f^{(4)}(x) \end{eqnarray}$ müssen diese Summen wieder 0 ergeben. Damit hast du 5 Gleichungen für die gesuchten 5 Unbekannten. Die Lösung dieses LGS sind die $\begin{eqnarray} c_i \end{eqnarray}$ .
10.05.2018, 19:07	Mimi123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Taylorentwicklung berechnet und komme insgesamt auf: $\begin{eqnarray} c_{-2}(f(x-2h)+f'(x-2h)(2h)\frac{f''(x-2h)}{2}(2h)^{2}+\frac{f^{3}(x-2h)}{6 }(2h)^{3}+\frac{f^{4}(x-2h) }{24} (2h)^{4}+\frac{f^{5}(x-2h }{120}(2h)^{5}+O(h^{6} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} +c_{-1}(f(x-h)+f'(x-h)(h)\frac{f''(x-h)}{2}(h)^{2}+\frac{f^{3}(x-h)}{6 }(h)^{3}+\frac{f^{4}(x-h) }{24} (h)^{4}+\frac{f^{5}(x-h) }{120}(h)^{5}+O(h^{6} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} +c_{0}(f(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} +c_{1}(f(x+h)+f'(x+h)(-h)\frac{f''(x+h)}{2}(-h)^{2}+\frac{f^{3}(x+h)}{6 }(-h)^{3}+\frac{f^{4}(x+h) }{24} (-h)^{4}+\frac{f^{5}(x+h) }{120}(-h)^{5}+O(h^{6} ) ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} +c_{2}(f(x+2h)+f'(x+2h)(-2h)\frac{f''(x+2h)}{2}(-2h)^{2}+\frac{f^{3}(x+2h)}{6 }(-2h)^{3}+\frac{f^{4}(x+2h) }{24} (-2h)^{4}+\frac{f^{5}(x+2h) }{120}(-2h)^{5}+O(h^{6} ) )+O(h)^{\gamma } \end{eqnarray}$ Ist die Vorgehensweise bis hier hin richtig?
11.05.2018, 11:55	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst die Taylorentwicklung immer um den Punkt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ausführen, also $\begin{eqnarray} f(x+ih)=f(x)+f'(x)ih+f''(x)\frac{(ih)^2}{2!}+f'''(x)\frac{(ih)^3}{3!}+f^{(4)}(x)\frac{(ih)^4}{4!}+O(h^5) \end{eqnarray}$ und anschließend alle Terme der Taylorentwicklung mit dem zugehörigen $\begin{eqnarray} c_i \end{eqnarray}$ multiplizieren. Dann in der Summe die Ausdrücke für $\begin{eqnarray} f(x+ih)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=-2}^{2} c_{i} f(x+ih)+O(h^{n}) \end{eqnarray}$ durch deren Taylorentwicklung ersetzen. Danach für die $\begin{eqnarray} c_i \end{eqnarray}$ Bedingungen formulieren, die sich für $\begin{eqnarray} f''(x) \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ , da dieser Term auf die linke Seite kommen soll, ansonsten sollen die Vorfaktoren für möglichst viele Ableitungsterme 0 ergeben.
11.05.2018, 22:03	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die Näherungsformel $\begin{eqnarray} f''(x)=\sum\limits_{i=-2}^{2} c_{i} f(x+ih)+O(h^{n}) \end{eqnarray}$ . Deshalb muss der Faktor nach Einsetzen der Taylorreihen rechts bei $\begin{eqnarray} f^{(k)}(x)=0 \end{eqnarray}$ , für $\begin{eqnarray} k\in \{0; 1;3;4\} \end{eqnarray}$ Null sein, da dieser auch auf der linken Seite 0 ist und für $\begin{eqnarray} k=2 \end{eqnarray}$ ist der Faktor auf der linken Seite 1, also muss er auch auf der rechten Seite 1 sein. Dies wird durch geeignete Wahl der Konstanten $\begin{eqnarray} c_i \end{eqnarray}$ ermöglicht. In meiner vorherigen Antwort hatte ich versehentlich (-1) geschrieben. Bitte entschuldige diesen Fehler.
14.05.2018, 22:01	Mimi123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab das nun gemacht und bin auf: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ -8 & -1 & 0 & 1 & 8 \\ -16 & 1 & 0 & 1 & 16 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_{-2} \\ c_{-1} \\ c_0 \\ c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{2}{h^{2} } \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wenn ich die Matrix ausrechne komme ich auf $\begin{eqnarray} \vec{c} = \frac{1}{12h^{2} } \begin{pmatrix} -1 \\ 16 \\ \ -30 \\ 16 \\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Insgesamt komme ich auf $\begin{eqnarray} f''(x)=\frac{-f(x-2h)+16f(x-0)-30f(x+h)-f(x-2h)}{12h^{2} } \end{eqnarray}$ Was mich aber irrietiert ist das meine Prof das hier raus hat: $\begin{eqnarray} f''(x)=\frac{-f(x-2h)+16f(x-0)+16f(x+h)-f(x-2h)}{12h^{2} } \end{eqnarray*}$
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15.05.2018, 13:12	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt wäre $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ -8 & -1 & 0 & 1 & 8 \\ 16 & 1 & 0 & 1 & 16 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_{-2} \\ c_{-1} \\ c_0 \\ c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{2}{h^{2} } \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dein Vektor $\begin{eqnarray} \vec{c} = \frac{1}{12h^{2} } \begin{pmatrix} -1 \\ 16 \\ \ -30 \\ 16 \\ -1\end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ hast du richtig. Aber daraus folgt $\begin{eqnarray} f''(x)=\frac{-f(x-2h)+16f(x-h)-30f(x)+16f(x+h)-f(x+2h)}{12h^{2} } <br /> \end{eqnarray*}$ Überprüfe auch, ob deine Angaben vom Prof. richtig wiedergegeben wurden. Vergleiche das Ergebnis mit den Formeln im Anhang. Diese stammen aus meinen Numerikvorlesungen vor ca. 50 Jahren. Daran dürfte sich nichts geändert haben.
15.05.2018, 16:37	Mimi123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab natürlich das gleiche raus aber als ich das im Formeleditor eingegeben habe, ist mir nicht aufgefallen das da noch was fehlt. Vielen dank du hast mir echt sehr geholfen.

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