Alle Lösungen einer trigonometrischen Gleichung

10.05.2018, 16:48

Philipp2706

Alle Lösungen einer trigonometrischen Gleichung

Hallo zusammen,
ich habe eine kurze Frage..

Beispielaufgabe:
Finden Sie alle Lösungen $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} sin(x)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Eine Lösung bekommt man durch die Umkehrfunktion. Man schaut also in der Tabelle nach und sucht sich diesen Wert raus.
$\begin{eqnarray*} x_{0}= arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$

Weitere Lösungen erhält man über symmetrie und Periodizität der sinus-Funktion.
Die Sinus Funktion ist 2pi-periodisch. Also sind alle folgenden x in diesem Abstand Lösungen.

Über die Symmetrie haben wir die Lösung $\begin{eqnarray*} \frac{5 \pi}{6} \end{eqnarray*}$ bekommen. Von da aus geht es immer $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ weiter (das hab ich verstanden).

Ich verstehe aber nicht wie man auf $\begin{eqnarray*} \frac{5 \pi}{6} \end{eqnarray*}$ kommt!

Wenn ich den Graph gezeichnet habe ist es ja offensichtlich.
Aber mit was für einer Formel oder Ansatz kann man diesen Wert rechnerisch ermitteln?

Ein weiteres Beispiel:

$\begin{eqnarray*} x_{0}= arcos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$
Das ist die Lösung über die Umkehrfunktion.

Das hier sind die Lösungen wenn man Periodizität und Symmetrie berücksichtigt:

$\begin{eqnarray*} \\ x_{1,1}=\frac{\pi}{3} + 2k \pi , k \in\mathbb{Z} \\ \\ x_{1,2}=-\frac{\pi}{3} + 2k \pi , k \in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich mir versucht das klarzumachen über die "übliche" Symmetriebedingung für gerade Funktionen, also,
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$

Das ergibt in diesem Fall ja Sinn, aber bei dem nächsten Beispiel muss man irgendwie anders an die Sache rangehen.

$\begin{eqnarray*} \\ x_{2,1}=\frac{5 \pi}{6} + 2k \pi , k \in\mathbb{Z} \\ \\ x_{2,2}=-\frac{7 \pi}{6} + 2k \pi , k \in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Wie kommt man darauf? unglücklich

Vielen Dank smile

10.05.2018, 16:54

mYthos

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RE: Alle Lösungen einer trigonometrischen Gleichung

Zitat:

Original von Philipp2706
...
Ich verstehe aber nicht wie man auf $\begin{eqnarray*} \frac{5 \pi}{6} \end{eqnarray*}$ kommt!
...

$\begin{eqnarray*} \sin x = \sin (\pi - x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos x = -\cos (\pi - x) \end{eqnarray*}$

Mache dir dies am Graphen oder am Einheitskreis klar!

mY+

10.05.2018, 16:55

Leopold

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Für die beiden bezüglich $\begin{align*} x = \frac{\pi}{2} \end{align*}$ symmetrischen Lösungen $\begin{align*} x_0,x_1 \in \left[ 0 , \pi \right] \end{align*}$ bei der Sinusfunktion gilt

$\begin{align*} x_0 + x_1 = \pi \end{align*}$

Und beim Cosinus bekommt man die beiden bezüglich $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ symmetrischen Lösungen $\begin{align*} x_0,x_1 \in \left[ - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right] \end{align*}$ durch

$\begin{align*} x_0 + x_1 = 0 \end{align*}$

10.05.2018, 17:26

Philipp2706

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vielen Dank für eure Antworten smile

Ich habe das Ganze mit beiden Varianten durchgerechnet.
Also:

$\begin{eqnarray*} sinx=sin(\pi -x) \\ sin(\frac{\pi}{6})=sin(\frac{6\pi}{6}-\frac{\pi}{6}) = sin(\frac{5 \pi}{6}) \end{eqnarray*}$

beziehungsweise (Variante von Leopold):

$\begin{eqnarray*} x_{1} = \frac{5\pi}{6} \end{eqnarray*}$

Das passt alles

Bei dem Cosinus-Beispiel bekomme ich allerdings folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \\ cos(x) = -cos(\pi -x) \\ \\ cos(\frac{5\pi}{6}) = -cos(\pi - \frac{5\pi}{6}) \\ \\ cos(\frac{5\pi}{6}) = -cos(\frac{1\pi}{6}) \end{eqnarray*}$

Wie komme ich denn von hier aus zu $\begin{eqnarray*} \frac{7\pi}{6} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

10.05.2018, 17:40

Leopold

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Sinus und Cosinus wechseln ihr Vorzeichen nach der halben Periode:

$\begin{align*} \sin (x \pm \pi) = - \sin x \, , \ \ \cos(x \pm \pi) = - \cos x \end{align*}$

10.05.2018, 17:53

Philipp2706

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das war mein Problem Gott

perfekt! Danke Freude

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