Kern, Bild bestimmen und Dimension von Kern und Bild bestimmen

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Lele20 Auf diesen Beitrag antworten »
Kern, Bild bestimmen und Dimension von Kern und Bild bestimmen
Meine Frage:
Die Aufgabe ist im hochgeladenen Bild zu sehen.

Meine Ideen:
Ich bin bei dieser Aufgabe etwas verloren. Ich würde gerne versuchen die a) mit Hilfe von euch hier zu lösen und mich dann an den restlichen erstmal selber versuchen. Bezüglich der Lösung habe ich nur ein vage Strategie. R^3 hat ja die Dimension 3. Demnach müsste ja dim(Kern L)+dim(Bild L)=3 gelten. Nun müsste ich entweder die Dimension des Bildes oder die des Kernes bestimmen und somit sollte sich die Dimension des anderen ergeben. Das Bild von L wäre doch . Ist dieser Ansatz völlig daneben? Falls nicht, wie mache ich weiter und bestimme die Dimension des Bildes?

Grüße,

lele
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

der Kern einer linearen Abbildung L ist ja definiert als Menge aller derjenigen x mit L(x)=0. Das heißt, du könntest einfach schauen, für welche Vektoren x das Kreuzprodukt gleich Null wird (am besten ganz klassisch LGS aufstellen und Gauß-Elimination auf die Gleichungsmatrix anwenden - weißt du, wie du die Abbildungsmatrix aufstellst?).

Man könnte auch versuchen abzukürzen: Wir wissen ja, dass das Kreuzprodukt zwei linear unabhängige Vektoren immer auf einen dritten, zu beiden orthogonalen (also nicht auf Null) abbildet. Also liegen alle Vektoren, die zu a linear unabhängig sind, nicht im Kern der Abbildung. Zwei linear abhängige Vektoren werden aber auf den Nullvektor abgebildet werden. Daher vermute ich, dass der Kern der Abbildung von dem einen Vektor a erzeugt wird und also eindimensional ist (falls a nicht der Nullvektor ist).

LG
sibelius84
 
 
lele20 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort! smile Ich bin mir ehrlich gesagt nicht sicher, wie genau man das mit der Abbildungsmatrix macht. Ich habe im Skript nachgeschaut und wenn du nicht etwas anderes meinst, dann geht es ja darum eine Matrix aus den Koeffizienten der Gleichung



zur erstellen, wobei das v ein Basiselement von V und w ein Basis Element von W einer Abbildung f:V->W ist. Wenn dem so ist, wie würde ich hier auf die Koeffizienten kommen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Indem du erst mal die Bilder L(v_k) für die Basiselemente von V bildest. smile
sibelius84 hat aber schon darauf hingewiesen, wie man die Eigenschaften des Kreuzprodukts geschickt ausnutzen kann. Das wäre für mich dann auch der vorgezeichnete Weg.
lele20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hänge bei dem Thema etwas von Stoff hinterher. Bin mir also ziemlich unsicher, deswegen frage ich mal lieber gleich nach, ob mein vorgehen korrekt ist. Ansonsten baue ich auf unsolidem Fundament. Also, für nimmt man ja erstmal die kanonische Basis des . Also (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1). Es sollte L(1,0,0) wiederum (1,0,0) ergeben, da mit dem Kreuzprodukt auch nur der aufgespannt werden soll. Demnach müsste ich a so wählen, dass , was an sich nicht gehen würde. Sollte ich also eine andere Basis des für das Kreuzprodukt wählen oder habe ich es ohnehin von Grund auf missverstanden?
Wie ihr sicherlich merkt tappe ich etwas im Dunkeln unglücklich
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

L(1,0,0) ergibt nicht (1,0,0), sondern: Wir haben ja



Z.B. demnach ergibt L(1,0,0) vielmehr .

Du kannst es auch andersherum aufziehen, nämlich L(1,0,0) durch explizite Berechnung des Kreuzprodukts bestimmen; dies liefert dir die erste Spalte der Matrix. Analog ist L(0,1,0) die zweite, und L(0,0,1) die dritte Spalte.

Zu deiner Frage: Du kannst a nicht wählen, a ist als fest vorgegeben zu denken.
lele20 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Geduld. Ich lasse mir den Beitrag mal durch den Kopf gehen und schaue, wie weit ich von hier an selber klar komme. Falls es wo hackt, was sehr gut möglich ist, melde ich mich nochmal in der Hoffnung, dass ihr mich noch nicht aufgegeben habt smile
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben schon ganz andere Leute nicht aufgegeben Big Laugh
Lele20 Auf diesen Beitrag antworten »

So, hatte die letzten Tage mit Analysis zu tun und widme mich nun wieder dieser Aufgabe. Habe dazu erstmal eine Verständnisfrage. In dem Post von Sibelius wird doch das Kreuzprodukt der kanonischen Basis Vektoren gebildet und mit einen Vektor der Definitionsmenge multipliziert. Diese Matrixvektormultiplikation müsste ich gleich dem Nullvektor setzten und ausrechnen d.h. mit Hilfe der Definition des Matrix-Vektor-Produkts ein Lgs aufstellen und lösen. Danach hätte ich meinen Kern, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lele20
In dem Post von Sibelius wird doch das Kreuzprodukt der kanonischen Basis Vektoren gebildet und mit einen Vektor der Definitionsmenge multipliziert.

Hm, mir ist nicht klar, worauf sich das bezieht. Kannst du das mal exakter zitieren?

Zitat:
Original von Lele20
Diese Matrixvektormultiplikation müsste ich gleich dem Nullvektor setzten und ausrechnen d.h. mit Hilfe der Definition des Matrix-Vektor-Produkts ein Lgs aufstellen und lösen. Danach hätte ich meinen Kern, oder?

Ich hoffe, daß ich deine Gedanken richtig verstehe, und sage mal vorsichtig "ja". smile
lele20 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort! smile

Also, um auf die Matrix in sibelius post zu kommen, muss ich das Kreuzprodukt mit den Basisvektoren des R^3 bilden. Die Abbildungsmatrix ist definiert als:



ich verstehe nicht ganz wieso die Multiplikation mit dem Kreuzprodukt die Koeffizienten für die Abbildungsmatrix liefert. Ich kämpfe hier gerade noch mit den grundlegenden Zusammenhängen :/
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Eine lineare Abbildung ist durch die Bilder der Basisvektoren des Urbildraums festgelegt. Also nimmst du die einzelnen Basisvektoren und bestimmst davon die Bilder. Diese Bilder mußt du dann als Linearkombination in der Basis des Bildraums darstellen. Das ist bei einem R³ nicht sonderlich kompliziert. Die einzelnen Koordinatenvektoren bilden dann die Spalten der Abbildungsmatrix.
lele20 Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau meinst du mit "Eine lineare Abbildung ist durch die Bilder der Basisvektoren des Urbildraums festgelegt."? Was ist hier mit "festgelegt" gemeint? Ich denke den Rest verstehe ich.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist jetzt aber wirklich grundlegendes Basiswissen.
Wenn du die Bilder der Basisvektoren des Urbildraums kennst, dann kennst du auch das Bild jedes anderen beliebigen Vektors aus dem Urbildraum. smile
lele20 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, okay. Ich habe gerade die ganze Zeit gedacht du meintest damit, dass ich mit den Bildvektoren der Basisvektoren direkt das Bild beschreiben kann, also, dass es eine Basis ergibt und war dann verwirrt wieso dies nun eine Basis sein sollte . Aber so wie du es gerade gesagt hast macht es natürlich Sinn. Ich bin gerade dabei mir Erklärvideos + Skript usw. rein zu ziehen um den Stoff, welchen ich leider verpasst habe nachzuholen. Wenn ich damit fertig bin setzte ich mich nochmal an die Aufgabe. Will euch ja nicht mit allzu trivialem belästigen. Augenzwinkern

Hoffentlich bekomme ich danach die Aufgabe selber hin, falls nicht melde ich mich nochmal. Danke, dass ihr trot doofen Fragen alle so lieb seid smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Gerade diese Aufgabe ist jetzt kein Hexenwerk. Du mußt einfach nur "machen". Augenzwinkern
lele20 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm, bin etwas weiter, komme aber glaube ich doch nicht ganz alleine klar. Bis hin zum bestimmen des Kerns habe ich es denke ich verstanden. Bildvektoren der Basis aufstellen, daraus folgt direkt die Abbildungsmatrix, dann diese Abbildungsmatrix zur Darstellung von f(x) verwenden, gleich 0 setzten, lgs lösen. Habe das LGS aufgestellt und als Kern den Vektor ((a_1/a_3)*x_3, (a_2/a_3)*x_3, x_3) bekommen. Also wäre der Kern . Es ist ja eine Gerade, also ist die Dimension des Kernes 1 und die Dimension des Bildes nach der Dimensionsformel 2. Ein kurzer Kommentar würde mir schon reichen, ich will nur wissen, ob ich hier in irgendeine Wand gerannt bin oder nicht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip bin ich einverstanden, allerdings steht in der Aufgabe der dezente Hinweis "eine Fallunterscheidung kann nötig sein". Du solltest dir die Geschichte unter dem Aspekt a_3 = 0 nochmal anschauen. smile
lele20 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort! Werde es für a_3 ungleich 0 nochmal durchrechnen. Noch eine Frage bezüglich des bildes dazu müsste ich ja einfach mithilfe der Matrix einen beliebigen Vektor (y_1, y_2, y_3) ausrechnen mithilfe eines Lgs, oder?
lele20 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ich meinte für a_3=0.
lele20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Matrix mit einem Vektor (y_1, y_2, y_3). Im angehängten Bild befindet sich das umgeformte lgs.

Aus diesem würde ich schließen, dass mein Bild so aussieht:



Die letzte Zeile sagt mir doch, dass sich y_3 als linearkombination der beiden anderen darstellen lässt und somit reduziert sich mein Bild auf die anderen 2. Vektoren. Würde ja an sich zur Dimension des Kernes gerade passen, oder? Habe ich richtig gerechnet?
lele20 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ich bind doof. Das ist falsch, irgendwer eine Ahnung, wie man am besten das Bild angibt?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm die Bilder der 3 Basisvektoren und extrahiere daraus eine Basis. smile
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