Erwartungswert

11.05.2018, 01:27

Mreqe

Erwartungswert

Meine Frage:
Hallo kann mir jemand erklären wie man drauf kommt ??

Meine Ideen:
Das erste ?=? ist ja nur die Definition vom Erwartungswert.
Das zweite ?=? wurde eigentlich kaum was geändert denn wenn man (1-p)^2 und (1-p)^(k-2) zusammengefasst kommt man wieder auf (1-p)^k.
Aber wieso fängt hier der summenindex bei k=2 an?
Ich denke damit man nun wiedee k= 0 machen kann

11.05.2018, 09:07

Huggy

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RE: Erwartungswert

Zitat:

Original von Mreqe
Aber wieso fängt hier der summenindex bei k=2 an?

Weshalb nicht? Wegen des Faktors $\begin{eqnarray*} k(k-1) \end{eqnarray*}$ werden die Summanden mit $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ doch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Man kann die Reihe also auch gleich bei $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ beginnen lassen, muss das aber nicht machen.

11.05.2018, 10:07

Mreqe

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RE: Erwartungswert
Achso ja stimmt.
Danach wird wohl eine index versxhiebung gemacjt und als summand erhalten wir

(k+2)(k+1) (1-p)^k wie kann man nun den Reihenwert berechnen ? Ich kenne den Reihenwertt der Geo. reihe aber diesmal ist ein (k+1) (k+2) davor ...

11.05.2018, 11:00

Huggy

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RE: Erwartungswert
Es sei $\begin{eqnarray*} q= 1-p \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty k(k-1)(1-p)^{k-2}=\sum_{k=2}^\infty k(k-1)q^{k-2}=\frac {d^2}{dq^2}\sum_{k=0}^\infty q^k \end{eqnarray*}$

Man beachte, dass die Terme mit $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ in der rechten Summe beim Ableiten $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ergeben. Die geometrische Reihe in der rechten Summe kann man ausrechnen und dann zweimal ableiten. Dann ersetzt man wieder $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 1-p \end{eqnarray*}$ .

11.05.2018, 11:46

Mreqe

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RE: Erwartungswert
Achso ok danke.
Was ich noch nicht ganz verstehe:

In der Aufgabenstellung stand wir sollen den Erwartungswert E(X(X-1)) mit der Transformationsformel berechnen.
Wo wurde hier die Transformationsformel benutzt ?
Die Transformationsformel habe ich als Bild angehängt.
Im 2 Bild siehst du wie wir den erwartungswert definiert haben.
Jedes mal im inet wird xj ersetzt durch j wie oben im Bsp auch.
Warum darf man das ? xj ist ja die Definitionsmenge der Zufallsvariable und P(X=xi) die Wertemenge.

11.05.2018, 13:17

Huggy

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RE: Erwartungswert

Zitat:

Original von Mreqe
Wo wurde hier die Transformationsformel benutzt ?

Die erste Formel ist doch eine 1 zu 1 Umsetzung der Transformationsformel. Es ist

$\begin{eqnarray*} g(X)=X(X-1) \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} g(x_j)=x_j(x_j-1) \end{eqnarray*}$

Und da in deinem Beispiel offenbar $\begin{eqnarray*} x_j=j \end{eqnarray*}$ gilt, kommt man zu der ersten Formel, wenn man noch $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ umbenennt.

Zitat:

Im 2 Bild siehst du wie wir den erwartungswert definiert haben.
Jedes mal im inet wird xj ersetzt durch j wie oben im Bsp auch.
Warum darf man das ? xj ist ja die Definitionsmenge der Zufallsvariable und P(X=xi) die Wertemenge.

Das ist keinesfalls generell so. Wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine diskrete Zufallsgröße ist, dann sollen die $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ die diskreten Werte sein, die sie annehmen kann. Wenn nun $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Werte $\begin{eqnarray*} x_0=0, x_1=1, x_2=2 \end{eqnarray*}$ usw.annehmen kann, dann hat man $\begin{eqnarray*} x_j=j \end{eqnarray*}$ und kann das in den Formeln zur Vereinfachung der Schreibweise verwenden. Das muss aber keineswegs so sein. Es kann auch $\begin{eqnarray*} x_0=e, x_1=\pi, x_2=\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ usw sein. Dann kann man natürlich nicht $\begin{eqnarray*} x_j=j \end{eqnarray*}$ setzen.

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