Primzahlen

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georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »
Primzahlen
Hallo die Angabe ist im Bild,
bei a) Seien dann ist
wenn man setzt dann folgt die Aussage .

c) hab ich mir gedacht ,
falls 9 keine H-Primzahl wäre dann müsste es Zahlen kleiner als 9 geben sodass 9=h1*h2*...
jedoch sind da nur 1 und 5 und mit denen kann man keine 9 erzeugen
ebenso bei 21 und 49 ...
also sollten die Teiler nur 1 und die Zahl selbst Sein ...

d)

b hab ich nicht leider ..

kann mir jemand helfen? Danke !!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage PZ
Ich würde es über Widerspruch beweisen.

Sei die kleinste Zahl, die nicht Produkt von H-Primzahlen ist.
Fall 1: . Aber...
Fall 2: ist ein H-Primzahl. Dann aber...
Fall 3: ist keine H-Primzahl. Dann ..

Edit: Fall 1 ergaenzt und die anderen renumeriert.
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage PZ
Hallo,
warum nimmt man die Kleinste Zahl an? und nicht h ist keine H-PZ?
falls eine H-PZ ist dann , hat h nur die Teiler 1,h . Dann ist aber h=h wobei h ja eine H-PZ ist .
falls keine H-PZ ist dann gibt es zumindest einen weiteren teiler in H sodass .
wir haben angenommen h sei nicht das Produkt von H-PZ , wenn h die Kleinste Zahl in H ist , die das erfüllt, so ist aber beispielweise 25=5*5 wobei 5 eine H-Pz ist ...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage PZ
Das mit dem kleinsten ist dafür da: Du hast nun . Und nun? Falls beide Faktoren eine H-Primfaktorzerlegung besitzen bist du fertig. Und das kannst du, weil die echt kleiner sind als .
Wenn du das nicht an forderst, musst du jetzt und solange reduzieren bis du eine elementare Zerlegung gefunden hast. Kann man auch machen, aber das oben beendet die Beweisführung sofort.
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay wenn nun ist ,und Warum folgt aus dem hier dass eine H-Primfaktorzerlegung besitzen ?

du hast noch hinzugefügt , 1 ist ja nach Definition keine H-PZ ..
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

1) Weil nach Annahme die kleinste Zahl war, die keine Primfaktorzerlegung besitzte. D.h. kleinere Zahlen besitzen sehr wohl eine.

2) Ich hätte es als Unterfall von Fall "Keine H-Primzahl" hinschreiben sollen, da hast du Recht. Allerdings muss man den Fall separat betrachten, weil der "allgemeine" Beweis nicht für klappt.
 
 
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »

"Weil nach Annahme h die kleinste Zahl war, die keine Primfaktorzerlegung besitzte. D.h. kleinere Zahlen besitzen sehr wohl eine"
darf man das annehmen das die kleineren Zahlen eine besitzen? es verwirrt mich nur im Zusammenhang , das wir zeigen müssen jedes h besitzt eine Zerlegung .

und wie kann h=1 ein produkt von H- Primzahlen sein wenn 1 nach Definition keine ist?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich musst du zeigen, dass alle eine besitzen. Wir nehmen nun an es gibt Zahlen, welche keine besitzen, und führen das zum Widerspruch. Wenn es solche Zahlen gibt, gibt es auch eine kleinste solche Zahl. Wenn die eine Zerlegung besitzt, führt das zum Widerspruch und wir sind fertig.

Der Fall hängt mit der Definition von "Produkt" zusammen. Das leere Produkt wird mit definiert. D.h. , wobei die Primzahlen sind.

Edit: Wenn es dir wohler ist: Vollständige Induktion kann man genauso gut machen. Ist alles effektiv das gleiche.
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »

okay , mich hat nur verwirrt das man nicht zeigen muss das h1,h2 eine H-PF Zerlegung besitzen .
ansonsten verstehe ich b)

und wie geht man bei c vor?
auch wieder mit wiederspruch?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ist vollkommen in Ordnung wie du es gemacht hast. Man kann es kaum systematischer machen.
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »

okay! was meinst du mit systematischer? kannst du das vl zeigen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte z.B. argumentieren, dass in die Primfaktorzerlegung existiert und eindeutig ist. Da die einzige nicht-triviale Zerlegung ist (d.h. ohne künstlich eine multiplikative 1 eingeführt) ist, und nicht in ist, sind wir fertig. Ähnlich mit 21 und 49.
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »

okay verstehe ich !
mir ist noch eine Idee zu b) gekommen :
man könnte den direkten weg wählen und das mit induktion zeigen ;
Wir nehmen
also an, dass jedes h mit ein Produkt von H-Primzahlen ist, und zeigen, dass dies auch für n zutrifft.

falls n scho eine H-PZ ist dann ist
falls nun n keine H-PZ ist dann gibt es mit
sodass : ,wobei
wegen folgt
und wegen , folgt

daher sind nach Induktionsvorrausetzung Produkte von H-Primzahlen und wegen
, so auch n .
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Passt. Du meinst aber jedes mit ist ein Produkt von Primzahlen.
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »

ja schreibfehler Wink
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