Brainstorming: Summen von Quadraten (Optimierung) |
| 11.05.2018, 12:04 | MatheErsti123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Brainstorming: Summen von Quadraten (Optimierung) Es gibt den allgemeinen Ansatz der Darstellung über , wobei Y der Monomvektor ist, und Q eine positiv semidefinite Matrix sein muss. Es ist allgemein bekannt, dass dieser Ansatz für steigenden Grad bzw Variablenzahl extrem aufwändig wird und daher besteht meine Untersuchung in erster Linie aus folgender Frage: Ist es möglich anstelle der Darstellung eine alternative Darstellung zu finden, wobei gilt und Q' muss ebenfalls positiv semi definit sein. Die "neue Darstellung" entsteht aus der Idee, das Monom xy aus Y sowie die korrespondierende Zeile/Spalte aus Q zu löschen. Die interessanteste Frage und zugleich noch recht unklar hierbei ist: Sind beide Darstellungen äquivalent? D.h. Ergibt sich aus der einen Darstellung die SOS Eigenschaft von p für bestimmte a,b, so auch aus der anderen?! Meine erste Idee war für beide Matrizen Q, Q' die Eigenwerte in Abhängigkeit von a,b zu bestimmen (in der Hoffnung es würden die gleichen Bedingungen für die Nichtnegativität dieser herauskommen). Dies hat sich jedoch schnell als utopisch erwiesen. Mittlerweile habe ich mir auch schon allerhand zu Theorien wie Distinct Pair Sum Polytope bzw Convex Cover oder Split Polynomials angelesen, aber bisher ohne Erfolg. Daher nun meine Bitte/Frage an euch: Habt ihr Ideen, Ansätze, wie man entweder a) zeigen könnte, dass beide Darstellungen äquivalent sind, b) Gegenbeispiele entwickeln könnte (für bestimmte a,b) und den Verlust (Für welche a,b ergibt sch beim kleineren System keine SOS Eigenschaft mehr) quantifizieren könnte? Ich bitte euch, nur grobe Ideen, Ansätze zu liefern, da es mein Job ist, diese dann eigenständig zu verfolgen. Vielen Dank für eure Hilfe. Gruß MatheErsti |
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