Primzahlen

11.05.2018, 15:38	georg2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Primzahlen Hallo man soll für zwei verschiedene Primzahlen p,q zeigen dass $\begin{eqnarray} \sqrt {pq} \end{eqnarray}$ irrational ist. ich habe mir überlegt das mit wiederspruch zu zeigen : angenommen $\begin{eqnarray} \sqrt {pq} \end{eqnarray}$ wäre rational , dann gibt es teilerfremde $\begin{eqnarray} m,n \in Z /\lbrace 0 \rbrace \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sqrt {pq}=m/n \end{eqnarray}$ bzw dann auch $\begin{eqnarray} pq=m^2/n^2 \end{eqnarray}$ da m,n Teilerfremd sind , so sind es auch die Quadrate , dh $\begin{eqnarray} pq=m^2/n^2 \end{eqnarray}$ wäre keine ganze Zahl , also ein Wiederspruch zu pq ist eine ganze Zahl . dh $\begin{eqnarray} \sqrt {pq} \end{eqnarray}$ ist irrational . stimmt das so?
12.05.2018, 09:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} m=7, \, n=1 \end{align}$ $\begin{align} m,n \end{align}$ teilerfremd $\begin{align} \frac{m}{n} = 7 \in \mathbb{Z} \end{align}$
12.05.2018, 11:53	georg2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Dh ich kann nicht folgern das $\begin{eqnarray} n^2/m^2 \end{eqnarray}$ keine ganze Zahl ist.. Könnte ich das vl irgendwie anders zum Widerspruch bringen?
12.05.2018, 12:04	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Variante 1 wäre, deinen Beweis fortzuführen und hier zunächst mal mit n² zu multiplizieren: n²=pqm² $\begin{eqnarray} \qquad \end{eqnarray}$ (mit m², n² teilerfremd) => n² ist durch p teilbar, und n² ist durch q teilbar - damit gilt beides auch für n (weißt du, warum?); schreibe also n=pqn', dann kannst du das einsetzen und folgern, dass auch m durch p, q teilbar sein muss - Widerspruch zur Teilerfremdheit. Variante 2 wäre, zunächst mal oBdA p<q vorauszusetzen, sich zu überlegen, dass $\begin{eqnarray} p=\sqrt{p^2}<\sqrt{pq}<\sqrt{q^2}=q \end{eqnarray}$ gilt, und damit irgendetwas Schlaues anzustellen. Habe aber jetzt keine Lust mir das weiter zu überlegen, wir haben ja eine funktionierende Variante. LG sibelius84
12.05.2018, 12:21	georg2000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, weil p,q Primzahlen sind folgt aus $\begin{eqnarray} p,q\|n^2=nn \end{eqnarray}$ , dass p und q n teilen. Wir hatten einen Satz der besagt dass wenn eine primzahl p das Produkt a1....ak teilt dann gibt es einen index i sodass p\|ai . Hier sind aber alle ai =n Also folgt sicher das p bzw auch q n teilen. Ich habe dann $\begin{eqnarray} m^2= pqn'^2 \end{eqnarray*}$ dh p,q teilen m^2 also wieder wie oben auch dann m. Dann haben aber m und n den gemeinsamen Teiler pq und können nicht teilerfremd sein was ein Widerspruch zur Annahme ist. Hast du das so gemeint?
12.05.2018, 13:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte auch so argumentieren. Angenommen, es gibt teilerfremde natürliche Zahlen $\begin{align} a,b \end{align}$ mit $\begin{align} \sqrt{pq} = \frac{a}{b} \end{align}$ , dann folgt daraus $\begin{align} pq = \frac{a^2}{b^2} \end{align}$ Und da $\begin{align} a \end{align}$ und $\begin{align} b \end{align}$ teilerfremd sind, sind es auch $\begin{align} a^2 \end{align}$ und $\begin{align} b^2 \end{align}$ . Da aber in der letzten Gleichung links eine ganze Zahl steht, folgt $\begin{align} b^2 = 1 \end{align}$ , also $\begin{align} pq = a^2 \end{align}$ Das Produkt zweier verschiedener Primzahlen ist aber niemals eine Quadratzahl. Widerspruch! Also ist $\begin{align} \sqrt{pq} \end{align}$ irrational. Man fragt sich nur, wozu man hier Primzahlen $\begin{align} p,q \end{align}$ braucht, weil man mit derselben Argumentation für eine natürliche Zahl $\begin{align} n \end{align}$ ja auch gleich $\begin{align} \sqrt{n} \ \ \text{ist rational} \ \ \Leftrightarrow \ \ n \ \ \text{ist eine Quadratzahl} \end{align}$ bekommt.
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12.05.2018, 18:40	georg2000	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar , danke euch beiden !!!

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