Auflösbarkeit nilpotenter Gruppen

11.05.2018, 16:15

FelNa1109

Auflösbarkeit nilpotenter Gruppen

Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe. Man definiere induktiv eine Reihe von Untergruppen $\begin{eqnarray*} L_iG < G \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} L_0G = G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L_{i+1}G = [L_iG , G] \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , hierbei bezeichnet $\begin{eqnarray*} [H, G] \end{eqnarray*}$ den Kommutator von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Eine Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ heißt nilpotent, falls ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} L_nG = \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass nilpotente Gruppen auflösbar sind.

Meine Ideen:
Ich hab ehrlich gesagt keinen wirklichen Ansatz, ich weiß nur das ich wahrscheinlich, aus dieser induktiv vorgegebenen Reihe von Untergruppen, irgendwie eine Normalreihe mit abelschen Quotienten konstruieren muss. Ich hoffe mir kann jemand helfen. Danke unglücklich

11.05.2018, 17:24

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde für die Auflösbarkeit die folgende Definition benutzen:

Zitat:

Eine Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ heißt auflösbar, falls die durch $\begin{eqnarray*} G^{(0)}=G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G^{(i)}=[G^{(i-1)}, G^{(i-1)}] \end{eqnarray*}$ in der trivialen Gruppe endet, d.h. es gibt ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} G^{(n)}=\{1\} \end{eqnarray*}$ .

Zeige nun $\begin{eqnarray*} G^{(m)} \leq L_m G \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ - das sollte durch vollständige Induktion gehen.
Dies zeigt, dass nilpotente Gruppen auflösbar sind.

11.05.2018, 17:43

FelNa1109

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke. Werde es gleich mal versuchen.

11.05.2018, 19:14

FelNa1109

Auf diesen Beitrag antworten »

Man betrachte den n-ten Kommutator von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , welcher wie folgt definiert ist (war bei mir in der VL so, drum halt ich mich da mal ran):

$\begin{eqnarray*} D^0G = G \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} D^{i+1}G = [D^iG , D^iG] \end{eqnarray*}$

Wir wollen nun per Induktion über $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ zeige, dass $\begin{eqnarray*} D^mG \leq L_mG , \forall m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt.

Induktionsanfang:
Sei $\begin{eqnarray*} m=0 \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} D^0G = G = L_0G \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} m=1 \end{eqnarray*}$ so ist nach Definition
$\begin{eqnarray*} D^1G = [D^0G , D^0G] = [G , G] \leq [G , G] = [L_0G , G] = L_1G \end{eqnarray*}$ , wobei hier auch Gleichheit gilt.

Induktionsvorraussetzung:
Die Aussage sei für ein $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ bewiesen.

Induktionsschritt:
Nach IV gibt es ein $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D^mG \leq L_mG \end{eqnarray*}$ und damit auch

$\begin{eqnarray*} D^{m+1}G = [D^mG , D^mG] \leq [L_mG , L_mG] \end{eqnarray*}$

Da es sich bei einem Kommutator $\begin{eqnarray*} [G , G] \end{eqnarray*}$ um den kleinsten Normalteiler in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ handelt, bzgl. derer der Quotient abelsch ist, muss die L-Reihe eine absteigende Reihe von Untergruppen sein. Somit gilt:

$\begin{eqnarray*} [L_mG , L_mG] \leq [L_mG , L_0G] = [L_mG , G] = L_{m+1} \end{eqnarray*}$

Also insgesamt: $\begin{eqnarray*} D^{m+1}G \leq L_{m+1}G \end{eqnarray*}$

Auf diese Weise erhalten wir nun eine Normalreihe der nilpotenten Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ wie folgt:

$\begin{eqnarray*} G = L_0G \geq D^0G \geq L_1G \geq ... \geq L_{n-1}G \geq D^{n-1}G \geq L_nG = \left\{ 1\right\} \geq D^nG \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow D^nG = \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$ und die Behauptung folgt aus Satz von Kommentar 1, oder zumindest ganz entschieden "vielleicht"...

11.05.2018, 20:08

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier meine Anmerkungen.

Zitat:

Da es sich bei einem Kommutator $\begin{eqnarray*} [G , G] \end{eqnarray*}$ um den kleinsten Normalteiler in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ handelt, bzgl. derer der Quotient abelsch ist, muss die L-Reihe eine absteigende Reihe von Untergruppen sein.

Dieser Begründung kann ich so nicht folgen. Mir scheint, dass du eigentlich nur auf den Fakt hinaus willst, dass jedes $\begin{eqnarray*} L_m G \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist - bzw. dass die Reihe der $\begin{eqnarray*} L_i G \end{eqnarray*}$ eine absteigende Reihe von Untergruppen ist. Das ist m.E. jedoch klar aufgrund der Definition von $\begin{eqnarray*} [ ~ , ~ ] \end{eqnarray*}$ .
Beachte insbesondere das Detail, dass du mit $\begin{eqnarray*} [G,G] \end{eqnarray*}$ argumentierst, also die Kommutatoruntergruppe, während es hier um Untergruppen geht, die nur von einem Teil der Kommutatoren aus $\begin{eqnarray*} [G,G] \end{eqnarray*}$ gebildet werden.

Zitat:

Somit gilt:

$\begin{eqnarray*} [L_mG , L_mG] \leq [L_mG , L_0G] = [L_mG , G] = L_{m+1} \end{eqnarray*}$

Also insgesamt: $\begin{eqnarray*} D^{m+1}G \leq L_{m+1}G \end{eqnarray*}$

Ja, damit endet der Induktionsbeweis, der die Aussage $\begin{eqnarray*} D^m G \leq L_m G \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ zeigt.

Zitat:

Auf diese Weise erhalten wir nun eine Normalreihe der nilpotenten Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ wie folgt:

$\begin{eqnarray*} G = L_0G \geq D^0G \geq L_1G \geq ... \geq L_{n-1}G \geq D^{n-1}G \geq L_nG = \left\{ 1\right\} \geq D^nG \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow D^nG = \left\{ 1\right\} \end{eqnarray*}$ und die Behauptung folgt aus Satz von Kommentar 1, oder zumindest ganz entschieden "vielleicht"...

1) Ich kenne den Sprachgebrauch so, dass eine Normalreihe eine Reihe ist, deren Glieder sämtlich Normalteiler in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ sind - nicht bloß Normalteiler in ihrem jeweiligen Vorgänger (was man als Subnormalreihe bezeichnen würde). Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Gruppentheorie)
Mag sein, dass du hier eine Subnormalreihe meinst. Dass eine Normalreihe (also eine Reihe aus lauter Normalteilern des ersten Glieds der Reihe) vorliegt, hast du nicht gezeigt.
Falls der Sprachgebrauch deiner Vorlesung von dem mir bekannten abweicht, kannst du diese Anmerkung ignorieren.
2) Du hast gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} D^m G \leq L_m G \end{eqnarray*}$ gilt. Du hast nicht gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} L_{m+1} G \leq D^m G \end{eqnarray*}$ gilt.
D.h. deine Schlussfolgerung, dass die Untegruppenbeziehung
$\begin{eqnarray*} G=L_0 G \geq D^0 G \stackrel{???}{\geq} L_1 G \geq ... \end{eqnarray*}$
gilt, ist so nicht haltbar. Ggf. ist sie sogar falsch - ich habe nicht darüber nachgedacht.

Der Kern des Arguments ist aber schon da.
Nach Voraussetzung ( $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist nilpotent) endet die Reihe $\begin{eqnarray*} G=L_0 G \geq L_1 G \geq L_2 G \geq ... \end{eqnarray*}$ in der trivialen Gruppe $\begin{eqnarray*} \{1\} \end{eqnarray*}$ , d.h. es gibt ein $\begin{eqnarray*} \ell \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} L_\ell G = \{1\} \end{eqnarray*}$ .
Auf dieses $\begin{eqnarray*} L_\ell G \end{eqnarray*}$ ist die per Induktion bewiesene Aussage anzuwenden, was dann zeigt, dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ auflösbar ist (ich hoffe jetzt mal, dass eure Definition von "auflösbar" lautet: es existiert ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D^n G = \{1\} \end{eqnarray*}$ ).

11.05.2018, 20:22

FelNa1109

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, erstmal nochmals Danke fürs antworten, ich hätte dann noch ein paar Fragen falls es Ok ist:

Zitat:

Ja, damit endet der Induktionsbeweis, der die Aussage

Also war meine Induktion so in Ordnung, bis halt auf die Bemerkung mit den Normalteilern?

Zitat:

1) Ich kenne den Sprachgebrauch so, dass eine Normalreihe eine Reihe ist, deren Glieder sämtlich Normalteiler in ...

Also wir haben es in der Vorlesung so definiert, das jedes "Glied" Normalteiler vom Vorgänger ist. Das müsste dann lt. Wikipedia aber wirklich die Subnormalreihe sein.

Zitat:

Der Kern des Arguments ist aber schon da.

Also bin ich an der Stelle schon fertig, wenn ich die Induktionsaussage auf das letzte L anwende? Die andere Sache, die ich nicht gezeigt habe muss ich mir ja dann nicht antun (.^_^.)

Zitat:

ich hoffe jetzt mal, dass eure Definition von "auflösbar" lautet: es existiert ein

Nein, aber wir haben das in einem Satz als Äquivalenz angegeben. Von daher alles schick!

11.05.2018, 20:29

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von FelNa1109
Hallo, erstmal nochmals Danke fürs antworten, ich hätte dann noch ein paar Fragen falls es Ok ist:

Zitat:

Ja, damit endet der Induktionsbeweis, der die Aussage

Also war meine Induktion so in Ordnung, bis halt auf die Bemerkung mit den Normalteilern?

Ja, das war halt etwas wirr. Man braucht an der Stelle nur, dass $\begin{eqnarray*} [~,~] \end{eqnarray*}$ mit der Relation "Untergruppe sein" ( $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ) verträglich ist.

Zitat:

1) Ich kenne den Sprachgebrauch so, dass eine Normalreihe eine Reihe ist, deren Glieder sämtlich Normalteiler in ...

Also wir haben es in der Vorlesung so definiert, das jedes "Glied" Normalteiler vom Vorgänger ist. Das müsste dann lt. Wikipedia aber wirklich die Subnormalreihe sein.

Wie gesagt, das ist nicht schlimm, solange klar und (innerhalb der Vorlesung) einheitlich ist, worüber man spricht.

Zitat:

Der Kern des Arguments ist aber schon da.

Also bin ich an der Stelle schon fertig, wenn ich die Induktionsaussage auf das letzte L anwende? Die andere Sache, die ich nicht gezeigt habe muss ich mir ja dann nicht antun (.^_^.)

Ja, ganz genau! Einfach die bewiesene Relation zwischen $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ auf das letzte $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ anwenden und das war's smile

Zitat:

ich hoffe jetzt mal, dass eure Definition von "auflösbar" lautet: es existiert ein

Nein, aber wir haben das in einem Satz als Äquivalenz angegeben. Von daher alles schick!

Dann passt es in der Tat so. Super! Freude

Neue Frage »

Antworten »

Auflösbarkeit nilpotenter Gruppen

Verwandte Themen