Auflösbarkeit nilpotenter Gruppen

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FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »
Auflösbarkeit nilpotenter Gruppen
Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Es sei eine Gruppe. Man definiere induktiv eine Reihe von Untergruppen durch und für alle , hierbei bezeichnet den Kommutator von und . Eine Gruppe heißt nilpotent, falls ein existiert, so dass . Zeigen Sie, dass nilpotente Gruppen auflösbar sind.

Meine Ideen:
Ich hab ehrlich gesagt keinen wirklichen Ansatz, ich weiß nur das ich wahrscheinlich, aus dieser induktiv vorgegebenen Reihe von Untergruppen, irgendwie eine Normalreihe mit abelschen Quotienten konstruieren muss. Ich hoffe mir kann jemand helfen. Danke unglücklich
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde für die Auflösbarkeit die folgende Definition benutzen:
Zitat:
Eine Gruppe heißt auflösbar, falls die durch und in der trivialen Gruppe endet, d.h. es gibt ein mit .

Zeige nun für alle - das sollte durch vollständige Induktion gehen.
Dies zeigt, dass nilpotente Gruppen auflösbar sind.
 
 
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke. Werde es gleich mal versuchen.
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Man betrachte den n-ten Kommutator von , welcher wie folgt definiert ist (war bei mir in der VL so, drum halt ich mich da mal ran):

;

Wir wollen nun per Induktion über zeige, dass gilt.

Induktionsanfang:
Sei so ist .
Sei so ist nach Definition
, wobei hier auch Gleichheit gilt.

Induktionsvorraussetzung:
Die Aussage sei für ein bewiesen.

Induktionsschritt:
Nach IV gibt es ein mit und damit auch



Da es sich bei einem Kommutator um den kleinsten Normalteiler in handelt, bzgl. derer der Quotient abelsch ist, muss die L-Reihe eine absteigende Reihe von Untergruppen sein. Somit gilt:



Also insgesamt:

Auf diese Weise erhalten wir nun eine Normalreihe der nilpotenten Gruppe wie folgt:



und die Behauptung folgt aus Satz von Kommentar 1, oder zumindest ganz entschieden "vielleicht"...
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Hier meine Anmerkungen.

Zitat:
Da es sich bei einem Kommutator um den kleinsten Normalteiler in handelt, bzgl. derer der Quotient abelsch ist, muss die L-Reihe eine absteigende Reihe von Untergruppen sein.


Dieser Begründung kann ich so nicht folgen. Mir scheint, dass du eigentlich nur auf den Fakt hinaus willst, dass jedes eine Untergruppe von ist - bzw. dass die Reihe der eine absteigende Reihe von Untergruppen ist. Das ist m.E. jedoch klar aufgrund der Definition von .
Beachte insbesondere das Detail, dass du mit argumentierst, also die Kommutatoruntergruppe, während es hier um Untergruppen geht, die nur von einem Teil der Kommutatoren aus gebildet werden.

Zitat:
Somit gilt:



Also insgesamt:


Ja, damit endet der Induktionsbeweis, der die Aussage für alle zeigt.

Zitat:
Auf diese Weise erhalten wir nun eine Normalreihe der nilpotenten Gruppe wie folgt:



und die Behauptung folgt aus Satz von Kommentar 1, oder zumindest ganz entschieden "vielleicht"...


1) Ich kenne den Sprachgebrauch so, dass eine Normalreihe eine Reihe ist, deren Glieder sämtlich Normalteiler in sind - nicht bloß Normalteiler in ihrem jeweiligen Vorgänger (was man als Subnormalreihe bezeichnen würde). Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Gruppentheorie)
Mag sein, dass du hier eine Subnormalreihe meinst. Dass eine Normalreihe (also eine Reihe aus lauter Normalteilern des ersten Glieds der Reihe) vorliegt, hast du nicht gezeigt.
Falls der Sprachgebrauch deiner Vorlesung von dem mir bekannten abweicht, kannst du diese Anmerkung ignorieren.
2) Du hast gezeigt, dass gilt. Du hast nicht gezeigt, dass gilt.
D.h. deine Schlussfolgerung, dass die Untegruppenbeziehung

gilt, ist so nicht haltbar. Ggf. ist sie sogar falsch - ich habe nicht darüber nachgedacht.


Der Kern des Arguments ist aber schon da.
Nach Voraussetzung ( ist nilpotent) endet die Reihe in der trivialen Gruppe , d.h. es gibt ein mit .
Auf dieses ist die per Induktion bewiesene Aussage anzuwenden, was dann zeigt, dass auflösbar ist (ich hoffe jetzt mal, dass eure Definition von "auflösbar" lautet: es existiert ein mit ).
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, erstmal nochmals Danke fürs antworten, ich hätte dann noch ein paar Fragen falls es Ok ist:

Zitat:
Ja, damit endet der Induktionsbeweis, der die Aussage


Also war meine Induktion so in Ordnung, bis halt auf die Bemerkung mit den Normalteilern?

Zitat:
1) Ich kenne den Sprachgebrauch so, dass eine Normalreihe eine Reihe ist, deren Glieder sämtlich Normalteiler in ...


Also wir haben es in der Vorlesung so definiert, das jedes "Glied" Normalteiler vom Vorgänger ist. Das müsste dann lt. Wikipedia aber wirklich die Subnormalreihe sein.

Zitat:
Der Kern des Arguments ist aber schon da.


Also bin ich an der Stelle schon fertig, wenn ich die Induktionsaussage auf das letzte L anwende? Die andere Sache, die ich nicht gezeigt habe muss ich mir ja dann nicht antun (.^_^.)

Zitat:
ich hoffe jetzt mal, dass eure Definition von "auflösbar" lautet: es existiert ein


Nein, aber wir haben das in einem Satz als Äquivalenz angegeben. Von daher alles schick!
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von FelNa1109
Hallo, erstmal nochmals Danke fürs antworten, ich hätte dann noch ein paar Fragen falls es Ok ist:

Zitat:
Ja, damit endet der Induktionsbeweis, der die Aussage


Also war meine Induktion so in Ordnung, bis halt auf die Bemerkung mit den Normalteilern?


Ja, das war halt etwas wirr. Man braucht an der Stelle nur, dass mit der Relation "Untergruppe sein" () verträglich ist.

Zitat:
Zitat:
1) Ich kenne den Sprachgebrauch so, dass eine Normalreihe eine Reihe ist, deren Glieder sämtlich Normalteiler in ...


Also wir haben es in der Vorlesung so definiert, das jedes "Glied" Normalteiler vom Vorgänger ist. Das müsste dann lt. Wikipedia aber wirklich die Subnormalreihe sein.


Wie gesagt, das ist nicht schlimm, solange klar und (innerhalb der Vorlesung) einheitlich ist, worüber man spricht.

Zitat:
Zitat:
Der Kern des Arguments ist aber schon da.


Also bin ich an der Stelle schon fertig, wenn ich die Induktionsaussage auf das letzte L anwende? Die andere Sache, die ich nicht gezeigt habe muss ich mir ja dann nicht antun (.^_^.)


Ja, ganz genau! Einfach die bewiesene Relation zwischen und auf das letzte anwenden und das war's smile

Zitat:
Zitat:
ich hoffe jetzt mal, dass eure Definition von "auflösbar" lautet: es existiert ein


Nein, aber wir haben das in einem Satz als Äquivalenz angegeben. Von daher alles schick!

Dann passt es in der Tat so. Super! Freude
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