Berechnung der Mittelsenkrechte und Co. des Dreieckes

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11.05.2018, 20:23	masso23	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung der Mittelsenkrechte und Co. des Dreieckes Meine Frage: Hallo zusammen, ich weiß nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll. Aufgabe: Gegeben sei das Dreieck ABC der Euklidischen Ebene R^2 mit den Koordinaten A= (0,0), B= (3,0) und C= (1,2). Berechnen Sie alle Mittelsenkrechten, deren Schnittpunkt und den Umkreis des Dreiecks ABC. Meine Ideen: Kann mir jemand bitte ein Tipp geben?
11.05.2018, 20:32	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Beispiel - Mittelsenkrechte durch BC: Der Mittelpunkt M von B und C ist M(2,1). Der Verbindungsvektor von B und C ist (-2,2). Hierzu ist der Vektor (1,1) orthogonal (= senkrecht). Die Mittelsenkrechte ist nun die Gerade durch (2,1) mit dem Richtungsvektor (1,1): $\begin{eqnarray} g\colon \vec x = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Falls dich die Vektorschreibweise stört und du nun eine Gerade in der 'gewöhnlichen' Form y=mx+b haben willst, kannst du obige Vektorgleichung erstmal als 2 skalare Gleichungen schreiben $\begin{eqnarray} x=2+\lambda; \qquad y=1+\lambda \end{eqnarray}$ und dann durch Subtraktion beider Gleichungen lambda eliminieren. Das ergibt x-y=1, was du nun nur noch nach y umstellen musst. Damit dürftest du die restlichen Mittelsenkrechten hinbekommen. Wie man Schnittpunkte von Geraden berechnet, weißt du? Denn der Schnittpunkt $\begin{eqnarray} (x_S\vert y_S) \end{eqnarray}$ der Mittelsenkrechten ist bekanntlich genau der Umkreismittelpunkt. Von da müsstest du lediglich noch die Entfernung zu einem beliebigen Eckpunkt ausrechnen (es ist ja per Konstruktion die Entfernung zu allen drei Eckpunkten gleich groß), dies ist der Radius r; die Umkreisgleichung lautet dann $\begin{eqnarray} (x-x_S)^2+(y-y_S)^2=r^2 \end{eqnarray}$ . LG sibelius84
12.05.2018, 10:21	masso23	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry ich hatte C falsch aufgeschrieben. Also A=(0,0), B=(3,0) und C=(-1,2) -Für die Mittelsenkrechte durch BC, habe ich: M=(1,1), Verbindungsvektor: (4,-2) und den Richtungsvektor (1,1). Daraus die Gl: $\begin{eqnarray} x=4+\lambda \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=-2+\lambda \end{eqnarray}$ mit Subtraktion dann $\begin{eqnarray} y=x-6 \end{eqnarray}$ -Für die Mittelsenkrechte durch AB, habe ich: M=(1,5 ,1), Verbindungsvektor: (-3,0) und den Richtungsvektor (1,1). Daraus die Gl: $\begin{eqnarray} x=-3+\lambda \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=\lambda \end{eqnarray}$ mit Subtraktion dann $\begin{eqnarray} y=x-3 \end{eqnarray}$ -Für die Mittelsenkrechte durch AB, habe ich: M=(0,5 ,1), Verbindungsvektor: (1,-2) und den Richtungsvektor (1,1). Daraus die Gl: $\begin{eqnarray} x=1+\lambda \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=-2+\lambda \end{eqnarray}$ mit Subtraktion dann $\begin{eqnarray} y=x-3 \end{eqnarray}$ Stimmt das? Denn wenn ich den Schnittpunkt von $\begin{eqnarray} x_{s} \end{eqnarray}$ berechnen möchte komme ich auf $\begin{eqnarray} x_{s}=\frac{6(-1)-(3)* 1}{-1-1-(1)1} =\frac{9}{0} \end{eqnarray*}$ . Das kann doch nicht richtig sein oder?
12.05.2018, 11:08	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt nicht. Der Stützvektor für die Mittelsenkrechte von $\begin{align} BC \end{align}$ ist $\begin{align} \vec{m} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align}$ , und als Richtungsvektor mußt du einen zu $\begin{align} \overrightarrow{CB} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} \end{align}$ senkrechten Vektor nehmen (dazu Koordinaten tauschen und in einer der Koordinaten das Vorzeichen wechseln), zum Beispiel $\begin{align} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{align}$ oder gleich den halbierten Vektor $\begin{align} \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{align}$ . Ich würde es aber sowieso anders machen. Man kann nämlich $\begin{align} \overrightarrow{CB} \end{align}$ oder gleich die Hälfte davon als Normalenvektor $\begin{align} \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align}$ der Mittelsenkrechten wählen: $\begin{align} 2x - y = c \end{align}$ Und da der Punkt $\begin{align} (1,1) \end{align}$ darauf liegen soll, bekommt man $\begin{align} c = 2 \cdot 1 - 1 = 1 \end{align}$ , also $\begin{align} 2x - y = 1 \end{align}$
12.05.2018, 23:33	masso23	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab nochmal alles berechnet und bin auf die Gleichungen: 1. AB: y=x-1,5 2. BC: y=2x-1 3. AC: y=0,5x+2,5 Daraufhin habe ich die einzelnen Schnittpunkte berechnet und bin auf:: AB mit BC: S(-0,5;-2) AB mit AC: S(8;6,5) BC mit AC: S(-1;-3) Ist das nun richtig? WIe kann ich jetzt den Umkreis berechnen?
13.05.2018, 11:08	Masso23	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Umkreis: (x+1) + (y+3)= r^2 Was ist denn nun der radius ? Was soll ich mit der gleichung machen ?
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13.05.2018, 11:19	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du dir ein Dreieck aufzeichnest und für alle Seiten die Mittelsenkrechten konstruierst, kann es dann vorkommen, dass alle drei Schnittpunkte unterschiedlich sind?
13.05.2018, 11:22	Masso23	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein also wurde etwas falsch gemacht von mir. Welche Mittelsenkrechte ist falsch?
13.05.2018, 11:52	Masso23	Auf diesen Beitrag antworten »
AB: A(0,0) , B(3,0) und M(1.5,0) und verbindungsvektor (3,0) orthogonal dazu (0,0). Also: x= 1,5 und y= 0 also x-1,5= y Das sollte stimmen BC sollte stimmen Und AC: y= 0,5x+5/4 So?
13.05.2018, 12:00	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung x=1,5 ist richtig. Dabei bleibt es dann aber auch. Insbesondere ist y nicht Null, sondern frei, da es in der Gleichung gar nicht auftaucht (und es darf dort auch nicht auftauchen). Damit weißt du schon mal, dass der Umkreismittelpunkt die x-Koordinate 1,5 haben muss. Ich bekomme für die Mittelsenkrechte auf AC auch heraus: y=0,5x+1,25, ja. Vielleicht klappt es damit, dass du einen eindeutigen Umkreismittelpunkt herausbekommst?
13.05.2018, 12:07	masso23	Auf diesen Beitrag antworten »
Also muss ich nur noch den schnittpunkt von BC und AC berechnen: 2=3: 2x-1= 0,5x+5/4, 1,5x=9/4 also x= 1.5 und y= 2 Also umkreis: (x-1,5)+ (x-2)=r^2 Ich wwiss immer noch nicht wie es weiter geht :/
13.05.2018, 13:02	masso23	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs also wenn ich alle Eckpunkte einsetze kriege ich hierfür: (x-1,5)^2+(x-2)^2=r^2 r=2,5
13.05.2018, 13:34	masso23	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine natürlich (x-1,5)^2 +(y-2)^2= 2,5 Und das ist der umkreis ?
13.05.2018, 13:53	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein letzter Post stimmt nicht, aber dein vorletzter Post - und auch so ziemlich alles, was dorthin geführt hat. Ich würde mal sagen: Nuss erfolgreich geknackt!
13.05.2018, 14:04	Masso23	Auf diesen Beitrag antworten »
Was stimmt am letzten post nicht ? Im vorletzten Post steht : ( x-1,5)^2 + (x-2)^2= r^2 Ich würde sagen das dieser Post nicht stimmt! Da im 2. summanden ein „x“ steht anstatt ein y ! Genauso wie der vorherige post! Der letzte beitrag allerdings: (x-1,5)^2 + (y-2)^2 = (2,5)^2 So sollte es stimmen normalerweise oder nicht ?
13.05.2018, 14:11	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, hatte das x anstelle des y im betreffenden Post überlesen. Du hast völlig Recht! Habe mir deine zuletzt genannte Kreisgleichung nun mehrere Sekunden konzentriert angesehen und bin 100pro sicher, dass sie stimmt.

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