Taylorreihe Beweis

11.05.2018, 20:45

Snexx_Math

Taylorreihe Beweis

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe bedarf ein wenig Hilfe:

Für $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \setminus \mathbb N , n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sei
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha \\ n \end{pmatrix} = \prod\limits_{k=1}^{n} \frac{\alpha -k+1}{k} = \frac{\alpha \cdot (\alpha -1) \cdot ... \cdot (\alpha -n +1)}{n!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)= \sum\limits_{n=0}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha \\ n \end{pmatrix} x^{n} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{\alpha}{1+x} \cdot g(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$

Unsere Rechnung bis jetzt , die nicht zum Erfolg führt:
$\begin{eqnarray*} (1+x) \cdot \frac{1}{\alpha} \cdot g'(x) = (1+x) \cdot \frac{1}{\alpha} \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha \\ n \end{pmatrix} n\cdot x^{n-1} =(1+x) \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n \end{pmatrix} n\cdot x^{n-1} =(1+x) \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n-1 \end{pmatrix} x^{n-1} = \sum\limits_{n=1}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n-1 \end{pmatrix} x^{n-1} + \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n-1 \end{pmatrix} x^{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n-1 \end{pmatrix} x^{n-1} + \sum\limits_{n=1}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n-1 \end{pmatrix} x^{n} =\sum\limits_{n=0}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n \end{pmatrix} x^{n} + \sum\limits_{n=1}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n-1 \end{pmatrix} x^{n} = \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot x^{0} + \sum\limits_{n=1}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n \end{pmatrix} x^{n} + \sum\limits_{n=1}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n-1 \end{pmatrix} x^{n} = 1+ \sum\limits_{n=1}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n \end{pmatrix} x^{n} + \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n-1 \end{pmatrix} x^{n} = 1+ \sum\limits_{n=1}^{\infty }x^{n} \cdot \Big ( \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n-1 \end{pmatrix} \Big ) = 1+ \sum\limits_{n=1}^{\infty }x^{n} \cdot \begin{pmatrix} \alpha \\ n-1 \end{pmatrix} = 1+ \sum\limits_{n=0}^{\infty }x^{n+1} \cdot \begin{pmatrix} \alpha \\ n \end{pmatrix} = 1+ x \sum\limits_{n=0}^{\infty }x^{n} \cdot \begin{pmatrix} \alpha \\ n \end{pmatrix} = 1+x \cdot g(x) \end{eqnarray*}$

Nur wo liegt jetzt der Fehler oder wo wären noch Tricks oder Umformungen besser.
Hab schon alles ausprobiert.

Ein wenig Hilfe/Korrektur wäre ausgesprochen nett smile

LG

Snexx_Math

11.05.2018, 21:00

Snexx_Math

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RE: Taylorreihe Beweis
Oh !!! Da hab ich den Fehler wohl selbst beim Drüberschauen gefunden:

$\begin{eqnarray*} (1+x) \cdot \frac{1}{\alpha} \cdot g'(x) = (1+x) \cdot \frac{1}{\alpha} \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha \\ n \end{pmatrix} n\cdot x^{n-1} =(1+x) \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n \end{pmatrix} n\cdot x^{n-1} =(1+x) \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n-1 \end{pmatrix} x^{n-1} = \sum\limits_{n=1}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n-1 \end{pmatrix} x^{n-1} + \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n-1 \end{pmatrix} x^{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n-1 \end{pmatrix} x^{n-1} + \sum\limits_{n=1}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n-1 \end{pmatrix} x^{n} =\sum\limits_{n=0}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n \end{pmatrix} x^{n} + \sum\limits_{n=1}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n-1 \end{pmatrix} x^{n} = \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot x^{0} + \sum\limits_{n=1}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n \end{pmatrix} x^{n} + \sum\limits_{n=1}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n-1 \end{pmatrix} x^{n} = 1+ \sum\limits_{n=1}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n \end{pmatrix} x^{n} + \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n-1 \end{pmatrix} x^{n} = 1+ \sum\limits_{n=1}^{\infty }x^{n} \cdot \Big ( \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n-1 \end{pmatrix} \Big ) = 1+ \sum\limits_{n=1}^{\infty }x^{n} \cdot \begin{pmatrix} \alpha \\ n \end{pmatrix} = 1+ \Bigg ( \sum\limits_{n=0}^{\infty }x^{n} \cdot \begin{pmatrix} \alpha \\ n \end{pmatrix} \Bigg ) - \Bigg ( \begin{pmatrix} \alpha \\ 0 \end{pmatrix} \cdot x^{0} \Bigg ) = 1+ \sum\limits_{n=0}^{\infty }x^{n} \cdot \begin{pmatrix} \alpha \\ n \end{pmatrix} -1 = \sum\limits_{n=0}^{\infty }x^{n} \cdot \begin{pmatrix} \alpha \\ n \end{pmatrix} = g(x) \end{eqnarray*}$

11.05.2018, 21:12

HAL 9000

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Die dritte Zeile bitte streichen, die ist falsch. Es wird in einem Rutsch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\alpha}\binom{\alpha}{n}n = \binom{\alpha-1}{n} \end{eqnarray*}$ umgeformt!

Ansonsten sieht es soweit in Ordnung sein.

11.05.2018, 21:52

Snexx_Math

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Zitat:

Original von HAL 9000
Die dritte Zeile bitte streichen, die ist falsch. Es wird in einem Rutsch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\alpha}\binom{\alpha}{n}n = \binom{\alpha-1}{n} \end{eqnarray*}$ umgeformt!

Das stimmt doch nicht oder ?

Weil es gibt doch die Regel : $\begin{eqnarray*} k \cdot \binom{n}{k} = n \cdot \binom{n-1}{k-1} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\alpha}\binom{\alpha}{n}n \end{eqnarray*}$ , dass :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\alpha}\binom{\alpha}{n}n = \frac{1}{\alpha}n\binom{\alpha}{n} = \frac{1}{\alpha}\alpha \cdot \binom{\alpha -1}{n-1} = \binom{\alpha -1}{n-1} \end{eqnarray*}$

Also genau das , was in der 3. bzw. 4. Zeile steht Augenzwinkern

Ich hoffe ich vertue mich da nicht , aber vielen Dank für die Antwort !

12.05.2018, 07:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Snexx_Math
Also genau das , was in der 3. bzw. 4. Zeile steht

Nochmal: Die zweite und vierte Zeile sind richtig, und der Übergang zwischen beiden wird durch diese Binomialkoeffizientenumformung gerechtfertigt. Aber die von dir hingeschriebene dritte Zeile

$\begin{eqnarray*} =(1+x) \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty } \begin{pmatrix} \alpha -1 \\ n \end{pmatrix} n\cdot x^{n-1} \end{eqnarray*}$

ist ganz einfach FALSCH - hör endlich auf, dieses tote Pferd zu reiten. unglücklich

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