Rechenregeln transponierte Matrizen

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Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
Rechenregeln transponierte Matrizen
Hallo zusammen,

ich habe mal eine formale Frage:

Seien

Ich soll zeigen, dass

Dies ist ja offentsichtlich, allerdings fällt es mir schwer den Beweis aufzuschreiben.

Bisher hatten wir folgende Notationen:
Seien

für Matrizenaddition:

für eine transponierte Matrix:
Sei . Die Matrix mit dem Eintrag heißt die transponierte Matrix.

Nun ist dies aber für mich keine allzu formale Definition für eine transponierte Matrix, so dass ich nicht weiß wie ich folgenden Ansatz formal richtig aufschreibe:

Sei



Offentsichtlich ist nun aber falsch, denn links steht eine Matrix und rechts ein Eintrag einer Matrix.
Wie schreibe ich bloß meine Gedanken formal richtig nieder.

Danke für jede Hilfe smile

LG

Snexx_Math
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechenregeln transponierte Matrizen - Frage
Zitat:
Original von Snexx_Math
Bisher hatten wir folgende Notationen:
Seien


Dann ist mit , und
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechenregeln transponierte Matrizen - Frage
Zitat:
Original von sixty-four
Dann ist mit , und


Ich verstehe das warum auch immer nicht verwirrt

heißt doch eine Matrix C mit den Einträgen

warum kann man als schreiben - steht doch für Einträge.

und woher weiß man , dass

Aber schonmal vielen Dank trotzdem smile
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Snexx_Math

heißt doch eine Matrix C mit den Einträgen

warum kann man als schreiben - steht doch für Einträge.

Weil das Matrixelement der Summe sich aus der Summe der Matrixelmente und ergibt. Das ist die Definition der Matrizenaddition.

Zitat:
Original von Snexx_Math
und woher weiß man , dass



Das ist die Definition der Transposition. Du vertauscht Zeilen und Spalten. Das Element, das bei C in Zeile i und Spalte j stand, steht bei in Zeile j und Spalte i.
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »

Ok , verstanden smile

Und den Schritt : [latex(a_{ji}+b_{ji})= (a_{ji})+(b_{ji})[/latex]

Darf man auch einfach so machen ? Oft muas man ja begründen, warum man das machen darf , man hatte sich ja jetzt die ganze Zeit Einträge von C angeschaut und trennt diese jetzt zu Einzeleinträgen .

LG
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst es schon begründen. Das Element ergibt sich aus der Summe . Wenn du alle drei Matrizen transponierst (also A, B und die Summenmatrix C), dann veränderst du nur die Stellung des Matrixelements in der Weise, dass das Element das in der Zeile i und Spalte j steht, danach in Zeile j und Spalte i steht. Wenn du jetzt die Summe bildest, addierst du die gleichen Summanden, nur dass sie jetzt woanders innerhalb der Matrix stehen.
 
 
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »

Also für den Beweis zu :

Seien
zu zeigen:

Sei mit . Dann gilt:

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