ggt bestimmen

12.05.2018, 18:49

georg2000

ggt bestimmen

Hallo die Frage lautet :
Seien $\begin{eqnarray*} a,b \in Z / \lbrace 0 \rbrace \end{eqnarray*}$ , p eine Primzahl .
$\begin{eqnarray*} ggt(a,b)=p \end{eqnarray*}$
man soll $\begin{eqnarray*} ggt(a^2,b^2),ggt(a^2,b),ggt(a^3,b^2) \end{eqnarray*}$ die möglichen Werte bestimmen .

ich habe zum ersten mir überlegt:
gäbe es $\begin{eqnarray*} q=ggt(a^2,b^2)>p^2 \end{eqnarray*}$ dann folgt $\begin{eqnarray*} p^2|q ,q|a^2 \end{eqnarray*}$
weil eine Teiler eines quadrates wieder die form eines quadrates hat : gilt $\begin{eqnarray*} q=c^2p^2 \end{eqnarray*}$
wobei c >1 ist .

dh dann aber $\begin{eqnarray*} cp|a,b \end{eqnarray*}$ dann hat man aber einen Teiler von a,b gefunden der größer als der ggt von a,b ist , was ein wiederspruch ist . also muss $\begin{eqnarray*} p^2=ggt(a^2,b^2) \end{eqnarray*}$ sein .

die anderen 2 bin ich mir nicht so sicher, zahlenbeispiele lassen vermuten es sind $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ ...

man weiß auch dass wenn $\begin{eqnarray*} p|a^n \end{eqnarray*}$ dann teilt auch $\begin{eqnarray*} p^n|a^n \end{eqnarray*}$ aber hilft mir das weiter ... verwirrt

13.05.2018, 11:47

sibelius84

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Hi,

du hast doch a=pa', b=pb' mit ggT(a',b')=1 (denn hätten die beiden einen gemeinsamen Teiler >1, dann hätten a und b einen gemeinsamen Teiler >p - Widerspruch). Wenn ggT(a',b')=1, dann ist auch $\begin{eqnarray*} ggT(a'^k,b'^l)=1 \quad\forall k,l\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ (denke zB an die Primfaktorzerlegung!).

Nun hast du ja zB a³=p³a'³, usw. Damit solltest du die Aufgabe leicht lösen können.

LG
sibelius84

13.05.2018, 12:03

georg2000

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Hallo ,
Warum ist ggT(a',b')=1 ? wegen $\begin{eqnarray*} p=ggt(a,b)=ggt(pa',pb')=p*ggt(a',b') \end{eqnarray*}$ muss dieser dann 1 sein?

dann ist $\begin{eqnarray*} ggt(a^2,b^2)=ggt(p^2a'^2,p^2b'^2)=p^2ggt(a'^2,b'^2)=p^2 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} ggt(a^2,b)=ggt(p^2a'^2,pb')=pggt(pa'^2,b') \end{eqnarray*}$

weil b' zu a' und somit auch zu a'^2 teilferfremd ist , und b' zu p so ist b' zum produkt der beiden Teilerfremd , ( jedoch ist b' zu p teilerfremd? es könnte ja sein das b' =p ist verwirrt

)
dann hätte man ggt =p

zu : $\begin{eqnarray*} ggt(a^3,b^2)=ggt(p^3a'^3,p^2b')^2=p^2ggt(pa'^3,b'^2) \end{eqnarray*}$
bräuchte ich auch wieder die Teilerfremdheit von b' zu p .

13.05.2018, 13:59

sibelius84

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Zitat:

Original von georg2000
Hallo ,
Warum ist ggT(a',b')=1 ? wegen $\begin{eqnarray*} p=ggt(a,b)=ggt(pa',pb')=p*ggt(a',b') \end{eqnarray*}$ muss dieser dann 1 sein?

dann ist $\begin{eqnarray*} ggt(a^2,b^2)=ggt(p^2a'^2,p^2b'^2)=p^2ggt(a'^2,b'^2)=p^2 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} ggt(a^2,b)=ggt(p^2a'^2,pb')=pggt(pa'^2,b') \end{eqnarray*}$

weil b' zu a' und somit auch zu a'^2 teilferfremd ist , und b' zu p so ist b' zum produkt der beiden Teilerfremd , ( jedoch ist b' zu p teilerfremd? es könnte ja sein das b' =p ist verwirrt

)
dann hätte man ggt =p

zu : $\begin{eqnarray*} ggt(a^3,b^2)=ggt(p^3a'^3,p^2b')^2=p^2ggt(pa'^3,b'^2) \end{eqnarray*}$
bräuchte ich auch wieder die Teilerfremdheit von b' zu p .

Es ergibt für mich ziemlich viel Sinn, was du schreibst smile

Aufgabenstellung ist ja, alle Möglichkeiten zu bestimmen. Deiner (mE korrekten) Argumentation folgend, kann man also schließen, dass $\begin{eqnarray*} ggT(a^2,b)\in\{p,p^2\} \end{eqnarray*}$ ; genauer geht's nicht, betrachte etwa - wie im Prinzip von dir selbst vorgeschlagen - die Beispiele a=3,b=15 und a=3,b=9.

Für $\begin{eqnarray*} ggT(a^3,b^2) \end{eqnarray*}$ könntest du analog vorgehen.

13.05.2018, 16:08

georg2000

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achso :
dh für b'eine fall unterscheidung machen :
1)p| b'teilt p dann $\begin{eqnarray*} pggt(pa'^2,kp)=p^2(a'^2,k) \end{eqnarray*}$
wobei jetzt k und a' teilerfremd sind wegen ggt(a,b)=p , dann sind es auch k und a'^2 somit ggt =p^2

2) wenn p nicht b' teilt dann ist man fertig wie ich gesagt habe vorhin und der ggt ist p.

und für den anderen $\begin{eqnarray*} ggt(a^3,b^2) \end{eqnarray*}$
selbes schema nur kommt dann $\begin{eqnarray*} \lbrace p^2,p^3 \rbrace \end{eqnarray*}$ raus oder?

13.05.2018, 18:30

sibelius84

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Jap

13.05.2018, 19:11

georg2000

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Alles klar danke dir ! Wink

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