Grenzwert mithilfe des Mittelwertsatz bestimmen

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Trisaster Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert mithilfe des Mittelwertsatz bestimmen
Meine Frage:
Es sei:


Unter Verwendung des Mittelwertsatz soll

gezeigt werden.

Meine Ideen:
Ich habe bisher:


als Ableitung von f bestimmt,
sodass mir der MWS sagt:




Der Ansatz wäre nun a und b geschickt zu wählen damit die Behauptung folgt.
Und genau da liegt mein Problem, ich kann zwar s durch entsprechende Wahl von a,b in abhängikeit von einem gegen unendlich "zwingen", jedoch ist
,
sodass mir das nicht auf offensichtliche Weise weiterhilft.

Ich wäre dankbar für jede Hilfe.


Hab dir mal die Smileys im Beitrag deaktiviert, das kann zu Fehlern führen, wenn im Latex -Bereich ein :( steht.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

wahrscheinlich soll der Mittelwertsatz nicht direkt auf angewendet werden.

Indem du die Klammer ausmultiplizierst und für den zweiten Summanden benutzt, dass kannst du den Ausdruck erheblich vereinfachen.
Trisaster Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte mich schon gewundert, was an meinem latex befehl kaputt gegangen war also danke für's reparieren, und natürlich auch für den Tipp Freude
Ich werde es mal ausprobieren und mich morgen mit entsprechenden Neuigkeiten melden, für heute ist es mir zu spät Schläfer
Trisaster Auf diesen Beitrag antworten »

So, nach vorgeschlagener Vereinfachung sieht
wie folgt aus:

und die Ableitung ist

Also ich sehe nun keine sonderliche Verbesserung verwirrt

Nach langen ernergischem anstarren von kam mir noch eine andere Idee:
Es könnte doch:
mit

, sein.

Da , würde s dann gegen unendlich gehen, wenn k gegen unendlich geht.

Als müsste man dann aber wählen, sodass der Ansatz mich auch noch nicht wirklich weiter gebracht hat.
Tanzen Ich, wie Ich mich im Kreis bewege.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde auf den Mittelwertsatz anwenden:

mit einem

Ausgedeutet ist das hier



Jetzt gehe ich davon aus, daß ist. Dann ist der Exponent , so daß man folgendermaßen abschätzen kann:



Damit kann der Term nach unten durch die von unabhängige Konstante abgeschätzt werden. Jetzt brauchst du noch eine Abschätzung nach oben, die gegen konvergiert. Dann bist du am Ziel. Diese Abschätzung nach oben ist eine Spur schwerer zu bekommen als die nach unten. Aber nur eine Spur. Versuch es einmal selber.
Trisaster Auf diesen Beitrag antworten »

Rückblickend sieht es ganz einfach aus, auch wenn ich vermutlich nie drauf gekommen wäre, den Mittelwertsatz so zu verwenden. Also ein großes Dankeschön an dieser Stelle Gott

Es ist übrigens , das habe ich in meinem Tatendrang glatt unterschlagen.

nach oben schätze ich dann einfach ab:



Da wegen der Stetigkeit von Exponentialfunktionen

ist, folgt dann

die Behauptung aus den Grenzwertsätzen, sowie Sandwich-Lemma. Freude
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann will ich meinen Tipp auch noch einmal zuende führen, damit das nicht so halb angefangen aussieht:

Es ist

Das ist ein Differenzenquotient zur Funktion von Leopold an der Stelle .

Für konvergiert das also einfach gegen und zwar auch für , so lange .

Natürlich könnte man ganz zum Schluss statt der Definition der Ableitung hier auch den Mittelwertsatz verwenden, wenn man den unbedingt einbauen will smile
Trisaster Auf diesen Beitrag antworten »

Ebenfalls eine schöne Idee, mir fehlt wohl noch einiges an Erfahrung, das hätte man sehen können. Hammer
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Trisaster
Da wegen der Stetigkeit von Exponentialfunktionen


Noch einmal kurz über die Funktionensorte nachdenken ...
Trisaster Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch ?
Ob ich nun mit Stetigkeit der Wurzel/ m-ten Potenz oder mit der der Exponential/Logarithmus-Funktion
argumentiere Big Laugh aber ja ersteres wäre das Go-To Argument
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