Zahlenkombination

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Gnii Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlenkombination
Meine Frage:
Hallo Folgende Situation$:

Mit den Zahlen 1 bis 9 kann man jede Menge Zahlen bilden,

die jeweils alle neun Zahlen enthalten.

Wie lautet die Summe dieser Zahlen?


Meine Ideen:
hatte schon die idee 9hoch9 weil ich davon ausging das das doch ziemlich easy sei... das ergebniss soll aber falsch gewesen sein smile
PWM Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zahlenkombination
Hallo,

zunächst gehe ich davon aus, dass nach Zahlen gefragt ist, die die Zahlen 1 bis 9 jeweils genau einmal enthalten, die also durch eine Permutation defineirt werden.

Dann ist zu berechnen (Summe über alle Permutationen):



Für die zweite Summe teilst Du die Permuationen auf in solche, für die p(i)=1 ist oder p(i)=2 oder p(i)=3 ....

Gruß pwm
 
 
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

mit solchen Aufgaben kannst du immer anfangen, indem du dir zunächst mal einfache Beispiele überlegst. Etwa die Zahlen 1 bis 3 und damit dreiziffrige (!) Zahlen bilden -> 123, 231, 312, 213, 321, 132 -> wenn ich die Einerziffern alle addiere, bekomme ich 12. Wenn ich aber die Zehnerziffern auch alle addiere, bekomme ich ebenfalls 12. Bei den Hundertern genauso. Also ist das Ergebnis



Woher kam nun die Summe 12? Naja, wir hatten 1+2+3=6 und dies kam genau 2-mal vor.

Bei fünfziffrigen Zahlen haben wir - nach Erkennung des Prinzips diesmal schon, ohne uns die Kombinationen explizit zu überlegen (denn das wären hier bereits 120 Stück) - demnach 1+2+3+4+5=15 und müssen uns jetzt überlegen, wie oft das vorkommt. Greifen wir uns mal wieder als erstes die Einerziffer. Wenn wir dort eine 1 fest hineinschreiben, müssen wir uns überlegen, auf wie viele unterschiedliche Arten man die Ziffern 2,3,4,5 auf die ersten vier Stellen verteilen kann. Die Antwort ist: 4!. Also ist die Summe der Einerziffern gerade 15, dies kommt (4!)-mal vor, und das gilt - wie bereits oben - für alle anderen Ziffernsummen auch. Insgesamt ergibt sich für die Summe:



und den Rest kannst du leicht ausrechnen.
(Alternativ zu meiner Verschieberei, könnte man auch einfach die Summenformel für die geometrische Reihe verwenden, wie mir gerade auffällt.)

Nun versuche dieses exemplarische Vorgehen entsprechend auf die Zahlen 1, ..., 9 und neunziffrige Zahlen zu übertragen. Welche Summe kriegst du für jede einzelne Ziffer heraus? Wie kannst du von dort zur Gesamtsumme kommen?

LG
sibelius84
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