Fourier-Transformierte berechnen

13.05.2018, 08:20

Der_Apfel

Fourier-Transformierte berechnen

Ich soll die Fourier-Transformierte dieser Funktion berechnen:

$\begin{eqnarray*} f(t) = e^{-a|t|} \end{eqnarray*}$

Die Funktion ist gerade, d.h. $\begin{eqnarray*} f(t) = f(-t) \end{eqnarray*}$ .

Für gerade Funktionen hatten wir folgenden Ansatz:

$\begin{eqnarray*} F(w) = \int_0^{\infty}cos(wt)\cdot f(t)dt \end{eqnarray*}$

Der normale Ansatz wäre ja $\begin{eqnarray*} F(w) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{iwt}\cdot f(t)dt \end{eqnarray*}$ .

Mit dem normalen Ansatz sieht es erstmal einfacher aus, ein Ergebnis zu bekommen:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot \int_0^{\infty}e^{-t(iw+a)} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 2\cdot \frac{1}{iw+a}e^{-t(iw+a)} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 2\cdot \frac{1}{iw+a} \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} lim_{t\to \infty}\frac{1}{iw+a}e^{-t(iw+a)} = 0 \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, ob man einfach 2 mal das Integral von 0 bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ nehmen kann anstatt von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ?

13.05.2018, 09:19

PWM

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RE: Fourier-Transformierte berechnen
Hallo,

Du musst rechnen ("Auflösen ders Betrags")

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(i \omega t) \exp(-a\ |t|)dt = \int_{-\infty}^{0} \exp(i \omega t) \exp(at) dt + \int_{0}^{\infty} \exp(i \omega t) \exp(-at) dt \end{eqnarray*}$

Gruß pwm

13.05.2018, 10:16

Der_Apfel

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Aber sind $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} \end{eqnarray*}$ nicht betragsmäßig gleich (da Funktion gerade)?

13.05.2018, 10:45

Guppi12

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Nein, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist gerade, aber nicht $\begin{eqnarray*} \exp(i\omega \cdot)f \end{eqnarray*}$ .

13.05.2018, 10:59

Der_Apfel

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Achso, das stimmt.

Mir fehlt leider der Ansatz, wie ich $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^0 e^{-t(iw+a)} \end{eqnarray*}$ berechnen kann, hat jemand einen Tipp?

14.05.2018, 06:52

klarsoweit

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RE: Fourier-Transformierte berechnen

Zitat:

Original von Der_Apfel
Der normale Ansatz wäre ja $\begin{eqnarray*} F(w) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{iwt}\cdot f(t)dt \end{eqnarray*}$ .

Die Literatur ist da ja durchaus unterschiedlich. Ich kenne $\begin{eqnarray*} F(w) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} e^{-iwt}\cdot f(t) ~dt \end{eqnarray*}$

Wie dem auch sei, wenn du $\begin{eqnarray*} e^{-iwt} = cos(wt) - i \cdot sin(wt) \end{eqnarray*}$ verwendest, bleibt aufgrund der geraden Funktion f nur noch $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} cos(wt) \cdot f(t)~dt = 2 \cdot \int_{0}^{\infty} cos(wt) \cdot e^{-at} ~dt \end{eqnarray*}$

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