Ableitung mithilfe des Differenzenquotienten

13.05.2018, 19:20

Millenium

Ableitung mithilfe des Differenzenquotienten

Hallo, ich soll die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = cosh(x) \end{eqnarray*}$ mithilfe des Differenzenquotienten ableiten.

Mein bisheriger Fortschritt:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{(\frac{1}{2} e^{x+h}+\frac{1}{2} e^{-x-h})-(\frac{1}{2}e^{x}+\frac{1}{2}e^{-x})}{h} = \frac{(e^{x}e^{h}+e^{-x}e^{-h})-(e^{x}+e^{-x}) }{2h} \end{eqnarray*}$

Theoretisch könnte ich jetzt noch jeweils $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ ausklammern, ich weiß jedoch nicht, ob mir das was bringt.

Wie kann ich das obige weiter umformen, sodass die richtige Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x) = sinh(x) \end{eqnarray*}$ herauskommt?

Gruß

14.05.2018, 08:13

klarsoweit

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RE: Ableitung mithilfe des Differenzenquotienten

Zitat:

Original von Millenium
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{(\frac{1}{2} e^{x+h}+\frac{1}{2} e^{-x-h})-(\frac{1}{2}e^{x}+\frac{1}{2}e^{-x})}{h} \end{eqnarray*}$

Das ist schon falsch oder zumindest nachlässig. Korrekt ist:

Sofern der Grenzwert existiert, ist $\begin{eqnarray*} f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{2} e^{x+h}+\frac{1}{2} e^{-x-h})-(\frac{1}{2}e^{x}+\frac{1}{2}e^{-x})}{h} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist, ob du zum Beispiel verwenden darfst, daß $\begin{eqnarray*} e^x = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} \end{eqnarray*}$ gilt?

14.05.2018, 08:54

Millenium

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RE: Ableitung mithilfe des Differenzenquotienten
Guten Morgen,

stimmt, den Limes hatte ich vergessen.

Inwiefern würde mich $\begin{eqnarray*} e^{x} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^{x} }{h} \end{eqnarray*}$ denn weiterbringen?

Grüße

14.05.2018, 09:29

klarsoweit

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RE: Ableitung mithilfe des Differenzenquotienten
Nun ja, du kannst ja $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{2} e^{x+h} + \frac{1}{2} e^{-x-h}) - (\frac{1}{2}e^{x} + \frac{1}{2}e^{-x})}{h} \end{eqnarray*}$ etwas umformen:

$\begin{eqnarray*} ... = \frac 1 2 \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^{x}}{h} + \frac 1 2 \lim_{h \to 0} \frac{e^{-x-h} - e^{-x}}{h} \end{eqnarray*}$

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