Kurvenintegral lösen

13.05.2018, 22:03	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenintegral lösen Hallo, ich sitze gerade an folgender Aufgabe: [attach]47177[/attach] Meine Ideen: a) Ich wähle $\begin{eqnarray} \gamma: \left[1,-1\right], \gamma(t) = i\cdot t \end{eqnarray}$ Nach unserer Definiton: $\begin{eqnarray} \int\limits_{\gamma}f(z)dz = \int\limits_{a}^{b}f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)dt \end{eqnarray}$ erhalte ich also: $\begin{eqnarray} \int\limits_{1}^{-1}\|i\cdot t\|\cdot i\cdot dt = i\int\limits_{1}^{-1}\|t\|dt = -i \end{eqnarray}$ b) Hier habe ich mir gedacht, ich nehme mal den Halbkreisbogen, der von i bis -i durch +1 geht. Dazu würde ich den Halbkreisbogen nehmen, den ich mittels der Funktion $\begin{eqnarray} \gamma_{1}:\left[0,\pi\right], \gamma_{1}(t) = e^{i\cdot t} \end{eqnarray}$ erhalte (dieser geht ja von 1 bis -1), und drehe ihn durch Multiplikation mit -i um $\begin{eqnarray} \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray}$ . Dann erhalte ich: $\begin{eqnarray} \int\limits_{0}^{\pi}\|(-i)\cdot e^{i\cdot t}\|\cdot (-i)\cdot i\cdot e^{i\cdot t}dt = \int\limits_{0}^{\pi}e^{i\cdot t}dt = \left[ \frac{1}{i}e^{i\cdot t}\right]_{0}^{\pi} = \frac{-2}{i} = 2i \end{eqnarray}$ Was sagt ihr dazu Edit: Meine Idee zu b) führt dazu, dass der Weg von -i bis i geht, nicht umgekehrt. Also sollte das Ergebnis wohl -2i sein.
13.05.2018, 23:18	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi forbin, das sieht doch alles recht vernünftig aus. Bei dem ersten Integral ist deine Notation etwas merkwürdig, von 1 bis -1. Du ziehst das so "konsequent" durch, dass zum Schluss das richtige Ergebnis steht. Formal unbedenklicher wäre aber mE zu definieren: $\begin{eqnarray} \gamma(t):=-it,\; -1\leq t \leq 1 \end{eqnarray}$ . Dann ergibt sich $\begin{eqnarray} \dot\gamma(t)=-i \end{eqnarray}$ , auf dem Wege kommt das Minuszeichen wieder herein. Beim zweiten, ja, ich denke, $\begin{eqnarray} \gamma(t):=e^{i\left(t+\frac\pi 2\right)} = ie^{it},\; 0\leq t \leq \pi \end{eqnarray}$ ist richtig. Dann berechnet sich der Integrand zu -e^{it}, integriert sich verrückt wieder zurück zu ie^{it} und dann kommt tatsächlich -2i raus, ja. LG sibelius84
14.05.2018, 12:20	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Ich habe es nun bei der a) auch wie von dir vorgeschlagen notiert. Zu b): Hier bin ich ja über den "rechten" Teil des Bogens gegangen. Du hast den "linken" Teil betrachtet. Obwohl die Funktion nicht holomorph ist, kommen wir auf die selben Ergebnisse. Ich bin sehr froh darüber Danke
14.05.2018, 19:12	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, falls eine von beiden Varianten 'richtiger' ist als die andere, dann ist es in diesem Fall meine, denn wenn nichts anderes gesagt wird, sind Kreise immer in mathematisch positiver Durchlaufrichtung aufzufassen, also im Gegenuhrzeigersinn. Vielleicht ist aber die Aufgabe auch absichtlich offen gestellt, da eh dasselbe rauskommt. edit: Nee Moment, warte mal. Du hast doch mit e^{it} angefangen und das dann mit einer Konstante multipliziert. Das bleibt im Gegenuhrzeigersinn! Im Uhrzeigersinn (also mathematisch negativ) würde man mit e^{-it} laufen, zB von -pi/2 bis pi/2. Kommt aber tatsächlich auch -2i raus, wenn mich nicht alles täuscht.
14.05.2018, 20:35	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so dachte ich mir das später auch, dass der "linke" Teil gemeint ist. Damit bleibt es mathematisch positiv. Und macht Sinn

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