Rekonstruktion von Exponentialfunktionen

14.05.2018, 19:43

Hedaff

Rekonstruktion von Exponentialfunktionen

Meine Frage:
Wie ermittle ich die Variablen a und b der Funktion f(x)=(a+1)*e^(-bx)
Die Funktion geht durch den Punkt P(1|2) und hat dort die Steigung -2e.

Meine Ideen:
F(1)=2 » (a+1)*e^(-b*1) = 2

F'(1)=-2e » a+1 * (-b*e^(-b*1))+e^(-b*1)

14.05.2018, 20:02

Kääsee

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RE: Rekonstruktion von Exponentialfunktionen

Zitat:

Original von Hedaff

Meine Ideen:
F(1)=2 » (a+1)*e^(-b*1) = 2

F'(1)=-2e

Das ist doch soweit alles richtig! Jedoch verstehe ich nicht ganz, was du hier gemacht hast:

Zitat:

a+1 * (-b*e^(-b*1))+e^(-b*1)

Ich würde dir empfehlen, die Funktion zuerst mal allgemein abzuleiten und danach die Information an der Stelle x=1 einzusetzen.

Und der nächste Schritt ist dann eben noch, dein entstehendes Gleichungssystem zu lösen. Das sollte mit zwei Gleichungen bei zwei Variablen doch machbar sein Augenzwinkern

14.05.2018, 20:30

Dopap

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Es gibt zusätzlich die Möglichkeit die entstanden Gleichungen zu dividieren.
Das vereinfacht den Rechenweg.

14.05.2018, 20:50

Hedaff01

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RE: Rekonstruktion von Exponentialfunktionen
Danke, für die Antwort!

Also dieses a+1*(-b*x)e^(b*x)+e^(-b-x)
Sollte die Ableitung nach dem Schema u*v' + u'*v sein. Stimmt sie nicht? Also ich dachte die ableitung von (a+1)=0, deshalb habe ich es weg gelassen

Und das Problem war, dass ich nichz weis, wie ich die Gleichung nach einer Variable.umstelle, sodass ich sie in die andere einsetzen kann....

14.05.2018, 21:49

Dopap

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Null ist hier ein Faktor und kann nicht "weggelassen" werden geschockt

Produktregel ist hier unnötig, da genügt die Faktorregel.

$\begin{eqnarray*} f(x)= \bigg(a+1\bigg)\cdot e^{-bx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \bigg(a+1\bigg)\cdot e^{-bx}\cdot \left(-b\right) \end{eqnarray*}$

und jetzt dividiere $\begin{eqnarray*} \frac {f(1)=2}{f'(1)=-2e} \end{eqnarray*}$
als Gleichungen!

15.05.2018, 01:20

Kääsee

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RE: Rekonstruktion von Exponentialfunktionen

Zitat:

Original von Hedaff01

Also dieses a+1*(-b*x)e^(b*x)+e^(-b-x)
Sollte die Ableitung nach dem Schema u*v' + u'*v sein.

WENN du es so machst (was natürlich viel komplizierter ist, siehe Dodap Augenzwinkern

), Dann solltest du es auch richtig machen!
Erstens fehlt eine Klammer um (a+1), zweitens ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{-bx} \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} -bxe^{bx} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} -be^{-bx} \end{eqnarray*}$ (Kettenregel!). Drittens hast du zwar recht, dass die Ableitung von a+1 0 ergibt, dadurch fällt aber der gesamte zweite Summand weg, da 0*irgendwas=0!!

15.05.2018, 14:51

Dopap

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Isolieren und Einsetzen geht schon:

$\begin{eqnarray*} f(1)=2 \Rightarrow a=2e^b -1 \end{eqnarray*}$ in

$\begin{eqnarray*} f'(1)=-2e \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt

$\begin{eqnarray*} -(2e^b\color{red}-1+1\color{black})be^{-b}=-2e \Rightarrow b=e \end{eqnarray*}$

die Gleichungen stattdessen zu dividieren ist angenehmer, da schön gekürzt werden kann.

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@Kääsee: mein Name ist ein Kunstwort vom Typ KVKVK. davon gibt es ca. 230.000 Stück und wurden beim WW2 in Codebücher verwendet.
Trotzdem ist korrekte Schreibweise angebracht, da es nicht weit zum DUDEP ist. Augenzwinkern

15.05.2018, 15:04

Kääsee

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Zitat:

Original von Dopap

--------------

@Kääsee: mein Name ist ein Kunstwort vom Typ KVKVK. davon gibt es ca. 230.000 Stück und wurden beim WW2 in Codebücher verwendet.
Trotzdem ist korrekte Schreibweise angebracht, da es nicht weit zum DUDEP ist. Augenzwinkern

Tut mir Leid, das war die Autoerkennung meines Handys böse