Inverse Funktionen

14.05.2018, 20:19

Kathreena

Inverse Funktionen

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = (y(x^2+1), x(y^2+1), 1+ cos(z)) \end{eqnarray*}$

a.) Wo ist der Hauptsatz für inverse Funktionen anwendbar ?

b.) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} J_{f^{-1}} (f(0,1,\frac{\pi}{2})) \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

a.) Also gesucht ist der Punkt, wo die inversen Funktionen existieren.

$\begin{eqnarray*} a = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe zuerst die Determinante berechnet und sie ungleich null gesetzt.

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta(f_1,f_2,f_3)}{\delta(x,y,z)} (a) = \begin{vmatrix} 2x_0y_0 & x_0^2+1 & 0 \\ y_0^2+1 & 2x_0y_0 & 0 \\ 0 & 0 & -sin(z_0) \end{vmatrix} = 2x_0y_0 \cdot 2x_0y_0 \cdot -sin(z_0) + 0 + 0 - 0 - 0 + sin(z_0)(y_0^2+1)(x_0^2+1) \neq 0 \end{eqnarray*}$

Und da kann ich irgendwie nix rauslesen, außer das $\begin{eqnarray*} a \neq (0,0,0)^T \end{eqnarray*}$ sein muss.

Mehr nützliches konnt ich aus den Satz für inverse Funktionen nich rauslesen.

15.05.2018, 12:27

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Inverse Funktionen

Zitat:

Original von Kathreena
Und da kann ich irgendwie nix rauslesen, außer das $\begin{eqnarray*} a \neq (0,0,0)^T \end{eqnarray*}$ sein muss.

Da kann man deutlich mehr herauslesen! Offensichtlich wird die Determinante an allen Stellen $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0,z_0=k*\pi),\;k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ Null. Sei nun $\begin{eqnarray*} z_0 \neq k\pi \end{eqnarray*}$ . Wo kann die Determinante dann noch Null werden?

15.05.2018, 17:06

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn:

$\begin{eqnarray*} sin(z_0) \cdot 4x_0^2y_0^2 = sin(z_0)(y_0^2+1)(x_0^2+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x_0^2y_0^2 = (y_0^2+1)(x_0^2+1) \end{eqnarray*}$

Nach ausmultipliziieren und umformen:

$\begin{eqnarray*} x_0^2+y_0^2+1-3x_0^2y_0^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} y_0 \neq \pm 1 , x_0 \neq \pm 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \begin{pmatrix} \pm 1 \\ \pm 1 \\ k \pi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

15.05.2018, 17:23

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kathreena
$\begin{eqnarray*} x_0^2+y_0^2+1-3x_0^2y_0^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn das gilt, muss $\begin{eqnarray*} \sin z_0=0 \end{eqnarray*}$ nicht gelten. Die Determinate ist dann trotzdem Null. Und diese Gleichung hat wesentlich mehr Lösungen als nur

Zitat:

Also $\begin{eqnarray*} y_0 \neq \pm 1 , x_0 \neq \pm 1 \end{eqnarray*}$

Lös die Gleichung doch einfach mal nach $\begin{eqnarray*} y_0^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_0^2 \end{eqnarray*}$ auf.

15.05.2018, 17:58

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich schon probiert, aber da kommt ja nur sowas raus:

$\begin{eqnarray*} y_0^2 \neq \frac{-x_0^2-1}{-3x_0^2+1} \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} sin(z_0) \neq 0 \end{eqnarray*}$

Der Zähler is negativ. Also kann ich garnich nach $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ auflösen.

Ich hab mal so nebenbei b.) gelöst:

$\begin{eqnarray*} J_{f^{-1}}(f(0,1,\pi)) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} ^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

15.05.2018, 18:05

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich komme auf

$\begin{eqnarray*} y_0^2=\frac {x_0^2+1}{3x_0^2-1} \end{eqnarray*}$

b) ist simples Rechnen. Das prüfe ich nicht nach.

15.05.2018, 18:24

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hab ich $\begin{eqnarray*} y_0 \neq \pm \sqrt{\frac{x_0^2+1}{3x_0^2-1} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_0 \neq \pm \sqrt{\frac{y_0^2+1}{3y_0^2-1} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \neq (\pm \sqrt{\frac{y_0^2+1}{3y_0^2-1} } ,\pm \sqrt{\frac{x_0^2+1}{3x_0^2-1} },k \pi)^T \end{eqnarray*}$

15.05.2018, 18:40

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Mag sein, dass du es richtig meinst, aber von der Darstellung her ist das nicht korrekt. Ich würde es so schreiben:

a)

$\begin{eqnarray*} a\neq(x_0,y_0,k\pi) \end{eqnarray*}$

Dabei sind $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ beliebig.

b)

$\begin{eqnarray*} a \neq (x_0, \pm \sqrt{\frac{x_0^2+1}{3x_0^2-1} } ,z_0) \end{eqnarray*}$

Dabei muss gelten $\begin{eqnarray*} |x_0|>\sqrt 3 /3 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ ist beliebig.

Es ist nicht notwendig, die Auflösung nach $\begin{eqnarray*} x_0^2 \end{eqnarray*}$ zusätzlich einzufügen. Das ergibt keine neuen Lösungen. Die Lösungen werden nur anders dargestellt.

15.05.2018, 18:57

Kathreena

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke,

also nochmal zum Verständnis, Also was ich nun habe, sind im Prinzip die Umgebungen, oder das Intervall, oder die Punkte, wo KEINE inverse Funktionen existieren.

Außerhalb des Intervalls gibt es überall inverse Funktionen.

Neue Frage »

Antworten »

Inverse Funktionen

Verwandte Themen