Komplexes Integral

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14.05.2018, 20:41	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexes Integral Hallo mal wieder , diesmal sitze ich an folgender Aufgabe: [attach]47181[/attach] Meine Idee zu 1): Unsere Definition des Integrals der komplexwertigen Funktion f ist ja: $\begin{eqnarray} \int\limits_{a}^{b}f(t)dt = \int\limits_{a}^{b}Re(f(t))dt + i\int\limits_{a}^{b}Im(f(t)))dt \end{eqnarray}$ Nun ist ja: $\begin{eqnarray} f: \mathbb C\rightarrow\mathbb R, f(t) = Im(t) = y + i\cdot 0 \end{eqnarray}$ . Damit ist aber dann $\begin{eqnarray} Im(f(t)) = Im(Im(t)) = 0 \end{eqnarray}$ . Beide Integrale der rechten Seite werden nun also null, ist das korrekt?
14.05.2018, 23:07	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, was du da tust. Du mußt ja ein komplexes Kurvenintegral berechnen und nicht ein reelles Integral einer komplexwertigen Funktion. Zwar kann man den ersten Integraltyp mit Hilfe einer Parametrisierung in den zweiten umwandeln. Aber von dieser Umwandlung sehe ich nichts. Zum Vergleich meine Ergebnisse: $\begin{align} \int_{\gamma_1} \operatorname{Im}(z) ~ \dd z = \frac{1}{2} (b-a) \operatorname{Im}(a+b) \end{align}$ $\begin{align} \int_{\gamma_2} \operatorname{Im}(z) ~ \dd z = - \pi r^2 \end{align}$
18.05.2018, 15:55	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, sorry dass ich mich erst jetzt wieder melde. Allerdings hänge ich immernoch an dieser Aufgabe. Mein Ansatz ist nun: $\begin{eqnarray} \gamma: \left[a,b\right]\rightarrow \mathbb C, t\mapsto t \end{eqnarray}$ zu wählen. Also ist $\begin{eqnarray} \gamma'(t) = 1 \end{eqnarray}$ . Nun bereche ich gemäß $\begin{eqnarray} \int\limits_{\gamma}f(z)dz = \int\limits_{a}^{b}f(\gamma(t))\gamma'(t)dt \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} \int\limits_{\gamma}f(z)dz = \int\limits_{a}^{b} Im(t) dt \end{eqnarray}$ Leider weiß ich hier wieder nicht weiter :'( ich müsste doch nun eine Stammfunktion von Im(t) suchen? Edit: Anschaulich ist das ein Trapez, dessen Flächeninhalt ich berechnen müsste. Aber dann käme ich auf $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}Im(b-a)Re(a+b) \end{eqnarray}$
18.05.2018, 17:31	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie scheinst du nicht zu beachten, daß $\begin{align} a,b \end{align}$ komplexe Zahlen sind. Eine Parametrisierung der Strecke (in der Aufgabe steht fälschlicherweise "Gerade") von $\begin{align} a \end{align}$ nach $\begin{align} b \end{align}$ ist zum Beispiel $\begin{align} z = a + t(b-a) \, , \ \ t \in [0,1] \end{align}$ Nach Substituieren erhält man unter dem Integral $\begin{align} \operatorname{Im}(z) ~ \dd z = \frac{1}{2 \operatorname{i}} \left( z - \bar{z} \right) ~ \dd z = \frac{1}{2 \operatorname{i}} \left( a + t(b-a) - \left( \bar{a} + t \left( \bar{b} - \bar{a} \right) \right) \right) ~ \dd \left( a + t(b-a) \right) \end{align}$ $\begin{align} = \frac{b-a}{2 \operatorname{i}} \left( a - \bar{a} + t \left( b - \bar{b} - a + \bar{a} \right) \right) ~ \dd t \end{align}$ Für das Integral erhält man $\begin{align} \int_{\gamma_1} \operatorname{Im}(z) ~ \dd z = \frac{b-a}{2 \operatorname{i}} \int_0^1 \left( a - \bar{a} + t \left( b - \bar{b} - a + \bar{a} \right) \right) ~ \dd t = \frac{b-a}{2 \operatorname{i}} \left( \left( a - \bar{a} \right) \int_0^1 \dd t + \left( b - \bar{b} - a + \bar{a} \right) \int_0^1 t ~ \dd t \right) \end{align}$
18.05.2018, 17:46	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier stand Unsinn...sorry. Ok, jetzt ist mir das viel klarer! Ich habe wirklich den Fehler gemacht, a und b nicht als komplexe Zahlen zu betrachten.
18.05.2018, 17:59	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Wunderbar, habe es jetzt raus und verstanden! Danke dafür, und ich mache mich auch an die b), sobald ich wieder da bin
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19.05.2018, 08:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte, die Additivität verwendend, auch so rechnen: $\begin{align} \int_{\gamma_1} \operatorname{Im}(z) ~ \dd z = \frac{1}{2 \operatorname{i}} \left( \int_{\gamma_1} z ~ \dd z - \int_{\gamma_1} \bar{z} ~ \dd z \right) \end{align}$ Beim ersten Summanden existiert eine Stammfunktion $\begin{align} F(z) = \frac{1}{2} z^2 \end{align}$ , so daß das Integral nur von Anfangs- und Endpunkt abhängt: $\begin{align} \int_{\gamma_1} z ~ \dd z = F(b) - F(a) = \frac{1}{2} \left( b^2 - a^2 \right) \end{align}$ Das zweite Integral könnte man wieder mit einer Parametrisierung bestimmen. Bei der zweiten Aufgabe liefe dieser Ansatz, da der Kreis geschlossen ist, auf $\begin{align} \int_{\gamma_2} \operatorname{Im}(z) ~ \dd z = - \frac{1}{2 \operatorname{i}} \int_{\gamma_2} \bar{z} ~ \dd z \end{align}$ hinaus.
19.05.2018, 19:17	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo und danke nochmal für eure Hilfe! Ich habe nun eine weitere Aufgabe bezüglich komplexer Integrale und würde diesen Thread gerne dafür nutzen. Falls das nicht so im Sinne des Boardes ist, eröffne ich auch einen neuen [attach]47216[/attach] Nun, bei a) habe ich den Weg folgendermaßen parametrisiert: $\begin{eqnarray} \gamma:\left[0,2\pi\right], t\mapsto a\cdot e^{i\cdot(t-a)} \end{eqnarray}$ Dies ist ein Kreis um a mit Radius a, wie angegeben. Damit ist $\begin{eqnarray} \gamma'(t) = a\cdot i\cdot e^{i\cdot(t-a)} \end{eqnarray}$ und das Integral wird zu $\begin{eqnarray} \int\limits_{0}^{2\pi} \frac{a\cdot e^{i\cdot(t-a)}}{(i\cdot a\cdot e^{i\cdot(t-a)})^{4}-1}\cdot a\cdot i\cdot e^{i\cdot(t-a)} dt = a^{2}\cdot i\cdot \int\limits_{0}^{2\pi} \frac{e^{i\cdot(t-a)}}{(a\cdot e^{i\cdot(t-a)})^{4}-1}\cdot e^{i\cdot(t-a)} dt \end{eqnarray}$ Ist der Ansatz überhaupt der richtige? Denn ab hier stehe ich leider auf dem Schlauch. Auch das zweimalige Anwenden der dritten Binomischen Formel im Nenner hat mir leider nicht geholfen...
19.05.2018, 20:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, jetzt geht es nicht mehr um Parametrisierungen, sondern um schlagkräftigere Mittel der komplexen Analysis: Cauchysche Integralformel, Residuensatz. Mit diesen Dingen solltest du dich zuerst vertraut machen. Dann kannst du dich an die Lösung dieser Aufgaben wagen.

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