Invariante Unterräume bestimmen

16.05.2018, 14:52	Bububi	Auf diesen Beitrag antworten »
Invariante Unterräume bestimmen Meine Frage: Hallo, ich habe ein Problem damit alle Unterräume eines Endomorphismus zu bestimmen und wollte fragen ob es da einen allgemeinen "Algorithmus gibt". Meine Ideen: Klar sind ja die trivialen Unterräume und das die Eigenräume invariante Unterräume sind. Wie sieht es mit mehrdimensonalen Unterräumen aus?
16.05.2018, 18:43	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Bild(f) und etwas allgemeiner jeder Untervektorraum von V, der Bild(f) enthält, sind f-invariant. Kern(f) ist auch f-invariant, weil, wie du richtig sagtest, Eigenräume f-invariant sind und Eig(f,0)=Kern(f). Für jede natürliche Zahl k und jeden Skalar $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ sind die verallgemeinerten Eigenräume $\begin{eqnarray} Kern((f-\lambda id)^k) \end{eqnarray}$ f-invariant. (Der Exponent bedeutet dabei die Komposition mit sich selber.) Einzelne Eigenvektoren stiften eindimensionale f-invariante Unterräume. Jeder Durchschnitt und jede Summe f-invarianter Unterräume ist selbst wieder f-invariant. Wenn du Lust hast, kannst du also (verallgemeinerte) Eigenräume unterschiedlicher Stufen und zu unterschiedlichen Eigenwerten bunt miteinander schneiden oder summieren. Man kann auch so vorgehen, sei beispielsweise $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\0 & 0 & 4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und f die zugehörige Abbildung $\begin{eqnarray} x\mapsto Ax \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} Ae_1=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Also ist <e1> nicht f-invariant. Machen wir weiter und berechnen $\begin{eqnarray} A^2e_1 = A\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\8\\0\end{pmatrix} = -3\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ - nun, der liegt also im Erzeugnis der vorigen. Man überlegt sich leicht (Induktion), dass damit schon für alle $\begin{eqnarray} k\in\mathbb N \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} A^ke_1 \end{eqnarray}$ in diesem Erzeugnis liegt. Mithin ist der Raum $\begin{eqnarray} \left\langle \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} \right\rangle \end{eqnarray}$ f-invariant. Nun stellt sich natürlich die Frage, ob denn f-Invarianz zwingend immer etwas mit Eigen- oder Haupträumen zu tun haben muss, oder ob es nicht "ganz unabhängig" davon noch "irgendwelche anderen" f-invarianten Unterräume geben könnte. Betrachten wir das obige Beispiel mal näher: Man sieht leicht, dass die Differenz des zweiten und ersten Vektors gerade 2e_2 ist; das ist ein Eigenvektor von A zum Eigenwert 2. Ferner ist $\begin{eqnarray} \frac 3 2 \cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\frac 1 2 \cdot\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\-1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein Eigenvektor von A zum Eigenwert 1. Unser f-invarianter Unterraum entpuppt sich also gerade als Summe der Eigenräume zu den Eigenwerten 1 und 2. Ich vermute sehr stark, dass das zumindest im Falle eines endlich erzeugten Vektorraums V kein Zufall ist. Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper K hat man ja die Hauptraumzerlegung und ich denke, man könnte von da ausgehend gewisse Negativaussagen zeigen und so zu der Folgerung gelangen, dass es (zumindest über algebraisch abgeschlossenen Körpern K) im Wesentlichen keine anderen Möglichkeiten für f-invariante Unterräume gibt außer Eigen- und Haupträumen, deren Summen und Durchschnitten und evtl. noch Teilmengen, wie etwa im Falle einzelner Eigenvektoren. (Über nicht algebraisch abgeschlossenen Körpern K gibt es f-invariante Unterräume als 'versteckte Eigen- und Haupträume': Betrachte etwa die reelle (!) Matrix $\begin{eqnarray} B:=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Es gilt $\begin{eqnarray} \chi_B=(X-2)(X^2+1) \end{eqnarray}$ . Schon an der Blockdiagonalform erkennt man, dass <e1,e2> f-invariant ist. Das koinzidiert hier aber nicht mit Eigen- oder Haupträumen. Wenn man B als komplexe Matrix auffasst, bekommt man (i,1,0) als Eigenvektor zum Eigenwert -i, und (-i,1,0) als Eigenvektor zum Eigenwert i. Die Summe ist ein Vielfaches von e2 und die Differenz ein Vielfaches von e1, und damit haben wir letztlich aufgedeckt, dass <e1,e2> doch nur wieder eine Summe von Eigen- bzw. Haupträumen ist.) LG sibelius84 PS: ...was ist denn dann mit Bild(f)?

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