Äquivalenz von Projektionsabbildungen zeigen. Wie? |
| 16.05.2018, 21:47 | Matheistcool | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Äquivalenz von Projektionsabbildungen zeigen. Wie? Guten Abend, Leute Ich sitze seit Stunden vor einer Aufgabe rum und komme nicht wirklich weiter... Die Aufgabe sieht folgendermaßen aus: Sei V ein Vektorraum und P : V ? V ein Endomorphismus. Zeigen Sie die Aquivalenz folgender ¨ Aussagen: (i) P ist idempotent, d.h. P ? P = P. (ii) Die Einschr¨ankung von P auf U := Bild(P) ist die Identit¨at, d.h. P|U = IdU . (iii) Es existieren Unterr¨aume U, W ? V , so dass U + W = V und P(u + w) = u fur alle ¨ u ? U und w ? W. Ist eine dieser Eigenschaften (und damit alle) erfullt, so heißt ¨ P eine Projektion. Tipp: Zeigen Sie z.B. die Implikationen (i) 
ii), (ii)
iii) und (iii)
i).Ich denke, die erste die erste Implikation (also i) -> ii) ) gezeigt zu haben. Aber ich weiß nicht wie man die restlichen Implikationen ii) -> iii) und iii) -> i) zeigt... kann mir da jemand helfen? Ich bin für jede Hilfe dankbar! lg Felix Meine Ideen: Hier kurz mein Lösungsansatz zur Implikation i) -> ii) Zu zeigen: P eingeschränkt auf U := Bild(P) ist die Identität, d.h. P(u) = u für ein u ? U Beweis: Das Bild(P) ist im Allgemeinen so definiert: Bild(P) ={P(v)|v ? V} ? V Da U:= Bild(P), gilt auch U= Bild(P) ={P(v)|v ? V} ? U Da P(v) Elemente aus dem Bild(P) =U sind, gilt auch P(v)=u mit u?U Sei v ? V mit P(v) = u ? ? U, dann ist P ? P(v) = P(v) = u (wegen (i)), aber auch P ? P(v) = P(u) (da P(v) = u). Also gilt P(u) = u. Stimmt das bis hierhin? Falls ja, komme ich aber danach nicht mehr weiter. Wenn es also darum geht, die Implikation ii) -> iii) zu zeigen... Aus der Aussage iii) " Es existieren Unterräume U, W ? V , so dass U + W = V und P(u + w) = u für alle u ? U und w ? W" konnte ich folgende Informationen herausfiltern: Da U+W=V gilt, sind U und W disjunkt. Das heißt, dass U?W=0. Wenn P(u+w)=u für alle u ? U und w ? W gilt, dann ist W der Nullraum, oder ? Wie ich darauf komme: Da p eine lineare Abbildung ist, gilt doch: P(u+w)=P(u)+P(w). Und wenn P(u+w)=P(u)+P(w)=u gilt, dann muss P(w) der Nullvektor sein, weil P(u)=u ist (nach ii). Und da w?W beliebig ist, ist ganz W der Nullraum. Ich habe auch einen komplett anderen Ansatz: Wenn U+W=V ist, dann ist V={(u+w)|u?U,w?W}. Okay. Dann ist (u+w)=v?V Nach ii) wissen wir, dass P(v)=u ist. Dies nutze ich nun aus und sage: P(u+w)=P(v)=u Aber ich habe das Gefühl, dass ich es mir irgendwie zu leicht gemacht habe. Deswegen bin ich mir unsicher. |
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