Unterraum

17.05.2018, 14:36

mandl123

Unterraum

Hallo ich fang einfach mal mit dem Bsp an:

Gegeben sind folgende vier mengen:
$\begin{eqnarray*} S[x\in \mathbb R ^4: 4x_{1} +2x_{3}=0, x_{4}=x_{1}] T[x\in \mathbb R ^4: 2x_{2} +4x_{3} +3x_{4}=\pi ^2] U[x\in \mathbb R ^4: 3x_{1} +2x_{3} +x_{4}=0,x_{2}=0 ] V[x\in \mathbb R ^4: 5x_{1} -2x_{2}=3 ] \end{eqnarray*}$

im ersten Punkt soll man zeigen dass S und U unterräume von R4 sind und T und V keine: ich zeig das mal für S:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s \\ t \\ -2s \\ s \end{pmatrix} x_{1}=s , x_{2}=t \end{eqnarray*}$ und habe dann für s und t verschiedene werte von R eingesetzt um zu zeigen dass die Bedingung für S noch stimmt.
habe ich bei allen 4 gemacht und bin so auch drauf gekommen dass es passt.

2 punkt war eine basis für jeden oben gefundenen unterraum zu finden und die dimension anzugeben (wieder nur für S hier gezeigt):

$\begin{eqnarray*} s*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ meine basis wären also diese 2 Vektoren natürlich ohne s und t. also dimension 2.

im 3 punkt hänge ich nun: Betrachten sie die summe von S und U, W=S+U. Zeigen sie dass dies keine direkte summe ist das heist dass der Durchschnitt nicht leer ist. Geben sie eine Basis und die Dimension von W an. nachdem W ungleich R4 gild ergänzen sie die basis von W durch einen oder mehrere Vektoren so dass eine basis des R4 entsteht.

also ich habe hier einfach meine gleichungen der beiden Unterräume genommen und das Gleichungssystem gelöst nur leider erhalte ich da den 0 Vektor.

ich hoffe mein rechengang in den ersten 2 punkten stimmt und vllt kann mir wer hierbei helfen.

17.05.2018, 15:28

klarsoweit

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RE: Unterraum

Zitat:

Original von mandl123
ich zeig das mal für S:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s \\ t \\ -2s \\ s \end{pmatrix} x_{1}=s , x_{2}=t \end{eqnarray*}$ und habe dann für s und t verschiedene werte von R eingesetzt um zu zeigen dass die Bedingung für S noch stimmt.
habe ich bei allen 4 gemacht und bin so auch drauf gekommen dass es passt.

Hm. Mir ist nicht so richtig klar, was du da gemacht hast. Wesentliche Aufgabe ist da, daß du die Unterraumeigenschaften nachweist.

Zitat:

Original von mandl123
im 3 punkt hänge ich nun: Betrachten sie die summe von S und U, W=S+U. Zeigen sie dass dies keine direkte summe ist das heist dass der Durchschnitt nicht leer ist.

Letztlich führt das auf ein Gleichungssystem. Damit mußt du prüfen, welche Vektoren aus S sich mit den Basisvektoren von U darstellen lassen.

17.05.2018, 15:40

mandl123

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wie soll ich es denn sonst zeigen? im endeffekt habe ich ja eine basis des unterraums (was noch zu zeigen ist) erstellt und habe dann über s und t welche ich unterschiedlich gewählt habe gezeigt dass der vektor der raus kommt noch immer in meinem unterraum liegt und das entspricht doch eigentlich dem unterraum kriterium dass das ergebnis der addition von 2 vektoren bzw multiplikation eines vektors mit einem skalar noch immer im Unterraum liegt oder etwa nicht?

zu zweitens: ich habe ja für jeden unterraum bedingungen an meinen vektor pro unterraum jeweils 2. ich habe also geglaubt wenn der durchschnitt nicht leer ist müssen doch alle 4 gleichungen erfüllt sein. da ich 4 gleichungen habe mit 4 unbekannten dachte ich ich bekomme da 1 vektor raus welcher meine "basis" von W bildet ist das total falsch?

17.05.2018, 15:52

sixty-four

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Zitat:

Original von mandl123
wie soll ich es denn sonst zeigen? im endeffekt habe ich ja eine basis des unterraums (was noch zu zeigen ist) erstellt und habe dann über s und t welche ich unterschiedlich gewählt habe gezeigt dass der vektor der raus kommt noch immer in meinem unterraum liegt und das entspricht doch eigentlich dem unterraum kriterium dass das ergebnis der addition von 2 vektoren bzw multiplikation eines vektors mit einem skalar noch immer im Unterraum liegt oder etwa nicht?

Das ist doch viel einfacher. Wenn du ein homogenes System hast, also eins was sich in der Form $\begin{eqnarray*} A\mathfrak{x}=\mathfrak{o} \end{eqnarray*}$ schreiben lässt, hast du immer einen Unterraum, denn wenn $\begin{eqnarray*} \mathfrak{x_1}, \mathfrak{x_2} \in V \end{eqnarray*}$ , dann gilt auch $\begin{eqnarray*} A (\lambda_1 \mathfrak{x_1}+\lambda_2 \mathfrak{x_2})=\mathfrak{o} \end{eqnarray*}$

17.05.2018, 16:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von mandl123
wie soll ich es denn sonst zeigen?

Wie ich schon sagte: über die Bedingungen für einen Unterraum. Nimm 2 Vektoren s_1 und s_2, die Elemente von S sind, und zeige, daß auch deren Summe ein Element von S ist.

Zitat:

Original von mandl123
und habe dann über s und t welche ich unterschiedlich gewählt habe gezeigt dass der vektor der raus kommt noch immer in meinem unterraum liegt

Da wird es für mich diffus, weil einfach nicht klar wird, was du da machst. Für den Nachweis des Unterraums ist es überhaupt nicht nötig, daß du eine Basis suchst.

Zitat:

Original von mandl123
zu zweitens: ich habe ja für jeden unterraum bedingungen an meinen vektor pro unterraum jeweils 2. ich habe also geglaubt wenn der durchschnitt nicht leer ist müssen doch alle 4 gleichungen erfüllt sein. da ich 4 gleichungen habe mit 4 unbekannten dachte ich ich bekomme da 1 vektor raus welcher meine "basis" von W bildet ist das total falsch?

Dann ist da was schief gegangen, denn wie man leicht sieht, ist der erste Basisvektor von S auch ein Element von U. smile

17.05.2018, 16:13

mandl123

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ok ich versuchs mal:

also ich habe $\begin{eqnarray*} 4x_{1}+2x_{3}=0 , x_{1}=x_{4} \end{eqnarray*}$
ein weiterer vektor aus diesem Raum wäre $\begin{eqnarray*} 4y_{1}+2y_{3}=0 , y_{1}=y_{4} \end{eqnarray*}$ , daraus kann ich schreiben: $\begin{eqnarray*} 4(x_{1}+y_{1})+2(x_{3}+y_{3})=0 , (x_{1}+y_{1})-(y_{4}+x{4})=0 \end{eqnarray*}$ , und daraus folgt dann: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \end{pmatrix}\in S \end{eqnarray*}$

und als 2 kriterium hätte ich
$\begin{eqnarray*} \alpha *(4x_{1}+2x_{3})=0 , \alpha *(x_{1}-x_{4})=0 \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} \alpha 4x_{1}+\alpha 2x_{3}=0 , \alpha x_{1}-\alpha x_{4}=0 \end{eqnarray*}$ und daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha x_{1} \\ \alpha x_{2} \\ \alpha x_{3} \\ \alpha x_{4} \end{pmatrix}\in S \end{eqnarray*}$

ist das so dann richtig?

17.05.2018, 16:34

mandl123

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stimmt der basisvektor ist von U ist mir noch nicht aufgefallen. ich schildere ganz kurz wie ich das gemeint habe, bin auch auf einen fehler gestoßen....:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ damit erhalte ich dann: $\begin{eqnarray*} s*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ somit ist meine basis dann der vektor und die Dimension ist 1. um jetzt daraus eine basis des R4 zu machen würde ich einfach noch die ersten 3 einheitsbasen des R4 nehmen also e1, e2, e3. würde das passen wenn ja danke für die schnelle hilfe Augenzwinkern

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