Beliebige Vereinigung abggeschlossener Mengen nicht immer offen

18.05.2018, 07:38	Fury	Auf diesen Beitrag antworten »
Beliebige Vereinigung abggeschlossener Mengen nicht immer offen Hallo, folgendes: die beliebige Vereinigungen abgeschlossener Mengen ist ja nicht immer zwangsläufig offen. Ich hatte mir dazu konkret folgendes Beispiel überlegt Sei dazu $\begin{eqnarray} (X, \mathcal{O}_X) \end{eqnarray}$ ein topologischer Raum. Wähle $\begin{eqnarray} X = \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , sowie $\begin{eqnarray} I_k = [-k,k] \subset \mathbb{R} \end{eqnarray}$ als abgeschlossenes Intervall. Dann ist $\begin{eqnarray} \bigcup_{k \in \mathbb{N}}^{\infty} I_k = \bigcup_{k \in \mathbb{N}}^{\infty} [-k,k] = [-1,1] \cup [-2,2] \cup [-3,3]..... = \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist aber offen (und abgeschlossen). Frage: Kann ich das so machen? Also ist die Wahl der Intervalle so zulässig? Ich bin etwas unsicher, ob die unendliche Vereinigung meiner gewählten Intervalle tatsächlich so funktioniert, wie beschrieben. Freue mich über Hilfe! Danke

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