Regelmässiges Pentachoron "Höhe"?

18.05.2018, 10:50

Justice

Regelmässiges Pentachoron "Höhe"?

Hallo zusammen

Meine Frage bezieht sich auf den 4-Dimensionale Körper "Pentachoron" mit überall gleicher Kantenlänge.

Ist die "Höhe" eines regelmässigen Pentachoron $\begin{eqnarray*} h=\frac{a\cdot \sqrt{10} }{4} \end{eqnarray*}$ , wobei a die Kantenlänge ist.

Kann jemand die Formel für die "Höhe" eines regelmässigen Pentachoron herleiten?

Die höhe für ein regelmässiges Dreieck ist ja $\begin{eqnarray*} h=\frac{a\cdot \sqrt{3} }{2} \end{eqnarray*}$

Die höhe für eine regelmässige Pyramide (Tetraeder) ist ja $\begin{eqnarray*} h=\frac{a\cdot \sqrt{6} }{3} \end{eqnarray*}$

Kann man hier Pauschal implizieren Kantenlänge mal Wurzel der Anzahl Kanten durch Diemension?? $\begin{eqnarray*} h=\frac{Kantenlänge\cdot \sqrt{Kantenanzahl} }{Diemensionsanzahl} \end{eqnarray*}$

Danke und Gruss
Justice

Edit (mY+): --> Dimension

18.05.2018, 15:56

HAL 9000

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Warum auf Dimension $\begin{eqnarray*} d=4 \end{eqnarray*}$ beschränken? Man kann allgemein Höhe $\begin{eqnarray*} h_d = a\sqrt{\frac{d+1}{2d}} \end{eqnarray*}$ nachweisen, z.B. durch direkte Angabe von Eckpunktkoordinaten eines solchen $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ -dimensionalen regelmäßigen "Hypertetraeders". Augenzwinkern

22.05.2018, 10:01

Justice

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Zitat:

Original von HAL 9000
Warum auf Dimension $\begin{eqnarray*} d=4 \end{eqnarray*}$ beschränken? Man kann allgemein Höhe $\begin{eqnarray*} h_d = a\sqrt{\frac{d+1}{2d}} \end{eqnarray*}$ nachweisen, z.B. durch direkte Angabe von Eckpunktkoordinaten eines solchen $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ -dimensionalen regelmäßigen "Hypertetraeders". Augenzwinkern

Hallo HAL
In meiner letzten Formel hab ich ja eine Verallgemeinerung... Einfach nicht ganz so schön wie deine. Denn in meiner ist die Kantenanzahl k drin, welche mit $\begin{eqnarray*} k=\frac{d^{2}+d}{2} \end{eqnarray*}$ auf die Dimensionszahl d vereinfacht werden kann.

Zitat:

Original von HAL 9000
eines solchen $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ -dimensionalen regelmäßigen "Hypertetraeders". Augenzwinkern

Pleonasmus! Ein "Hypertetraeder" ist schon regelmässig. Lehrer

Gruss
Justice

22.05.2018, 10:13

HAL 9000

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Ja, bleibt noch die Angabe "passender" Koordinaten für eine speziell ausgerichtetes $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ -dimensionales regelmäßiges Hypertetraeder:

Dessen Eckpunkte seien $\begin{eqnarray*} x_0,\ldots,x_d \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ (Nullvektor) sowie für $\begin{eqnarray*} 1\leq n\leq d \end{eqnarray*}$ habe $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ die Koordinaten

$\begin{eqnarray*} x_{n,k} = \begin{cases} \frac{a}{\sqrt{2k(k+1)}} & \;\mbox{für}\; 1\leq k<n\\ \frac{(n+1)a}{\sqrt{2n(n+1)}} & \;\mbox{für}\; k=n\\ 0 & \;\mbox{für}\; n<k\leq d\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Für diese Wahl kann man leicht nachprüfen, dass der euklidische Abstand $\begin{eqnarray*} \left\|x_n-x_m\right\|_2 = a \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq m < n\leq d \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

Original von Justice
Pleonasmus! Ein "Hypertetraeder" ist schon regelmässig. Lehrer

Sicher ist sicher. Du magst ja zu den Leuten gehören, für die ein Tetraeder immer auch regelmäßig ist - ich sehe das anders.

22.05.2018, 10:24

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Justice
Pleonasmus! Ein "Hypertetraeder" ist schon regelmässig. Lehrer

Sicher ist sicher. Du magst ja zu den Leuten gehören, für die ein Tetrader immer auch regelmäßig ist - ich sehe das anders.

Ich schließe mich HAL an. Aber es ist wahrscheinlich so wie bei vielem. Wenn man immer nur mit dem regulären Tetraeder arbeitet, fällt "regulär" irgendwann einmal weg und das "reguläre Tetraeder" wird zum "Tetraeder". Und in der Funktionentheorie ist irgendwann einmal jede Kurve "geschlossen". Und in der Trigonometrie jedes Dreieck "rechtwinklig". Und in der Geometrie jeder Kreis "rund". Aber das letzte stimmt jetzt wirklich immer. Hören wir nicht auf die Leute, die sich mit Graphen und ihren Kanten und Kreisen beschäftigen! Augenzwinkern

22.05.2018, 14:04

Justice

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ja, bleibt noch die Angabe "passender" Koordinaten für eine speziell ausgerichtetes $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ -dimensionales regelmäßiges Hypertetraeder:

Dessen Eckpunkte seien $\begin{eqnarray*} x_0,\ldots,x_d \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ (Nullvektor) sowie für $\begin{eqnarray*} 1\leq n\leq d \end{eqnarray*}$ habe $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ die Koordinaten

$\begin{eqnarray*} x_{n,k} = \begin{cases} \frac{a}{\sqrt{2k(k+1)}} & \;\mbox{für}\; 1\leq k<n\\ \frac{(n+1)a}{\sqrt{2n(n+1)}} & \;\mbox{für}\; k=n\\ 0 & \;\mbox{für}\; n<k\leq d\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Für diese Wahl kann man leicht nachprüfen, dass der euklidische Abstand $\begin{eqnarray*} \left\|x_n-x_m\right\|_2 = a \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq m < n\leq d \end{eqnarray*}$ gilt.

Das ist mir zu "hoch" ;D und Vektorräume liegen mir auch nicht so haha Big Laugh

Zitat:

Original von Justice
Pleonasmus! Ein "Hypertetraeder" ist schon regelmässig. Lehrer

Sicher ist sicher. Du magst ja zu den Leuten gehören, für die ein Tetraeder immer auch regelmäßig ist - ich sehe das anders.

Da hab ich mich wohl vertan... Ich dachte immer das die Dreiseitige-Pyramide wie der Quader , und das Tetraeder wie der Würfel ist. Aber dem ist nicht so. My Bad...

22.05.2018, 14:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von Justice

Zitat:

Original von HAL 9000
Für diese Wahl kann man leicht nachprüfen, dass der euklidische Abstand $\begin{eqnarray*} \left\|x_n-x_m\right\|_2 = a \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq m < n\leq d \end{eqnarray*}$ gilt.

Das ist mir zu "hoch" ;D und Vektorräume liegen mir auch nicht so

Was ist denn daran "hoch", einfach

$\begin{eqnarray*} \left\|x_n-x_m\right\|_2^2 = \sum_{k=1}^d \left(x_{n,k}-x_{m,k}\right)^2 \end{eqnarray*}$

auszurechnen? verwirrt

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