Primzahlen

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georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »
Primzahlen
Hallo die Angabe im Bild,

zuerst zu a )
man muss zeige es gibt ein mit sodass

dh es muss gelten

ich habe mir gedacht das vl mit Induktion zu machen ,
der Anfang n=0 ergibt so setze ich m=0 und
für den Schritt :
falls 4n+3 bereits eine Primzahl ist , so setze ich m=n , dann ist ja p ein teiler .

falls nun 4n+3 keine Primzahl ist ,
angenommen für jedes : gilt

müsste man noch zeigen auch 4n+3 habe einen teiler der Form p=4m +3 .

man kann schreiben :

der linke Summand würde nach Vorrausetzung von einem P geteilt der Rechte aber nicht .. hm verwirrt

b würde ich erst machen wenn a fertig ist smile

kann mir da jemand helfen? Danke!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde das eher indirekt beweisen:

als ungerade Zahl besitzt nur ungerade Primfaktoren (d.h. nicht Primfaktor 2). Ungerade Primfaktoren besitzen die Form oder . Angenommen, besitzt nur Primfaktoren der Form ...
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal 9000,
angenommen eine Zahl der Form wobei
dann ist aber jedes Produkt der Form :
dh insbesondere diese Zahl würde wieder eine Zahl der Form : annehmen .
was aber nicht gleich sein kann , denn n ist eine Natürliche Zahl.
dh insbesondere es müsste in dem Produkt zumindest einen Faktor geben denn


also dh dieses produkt würde dann die gewünschte Form haben .

so gedacht?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von georg2000
dh insbesondere diese Zahl würde wieder eine Zahl der Form : annehmen .
was aber nicht gleich sein kann

Ja, genau so kommt man zum Widerspruch.

Was du danach noch geschrieben, ist nicht nötig als Bestandteil des indirekten Beweises.
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay , ja stimmt smile
Noch eine Frage : Das 2 nicht 4n+3 Teilen kann ist klar , und auch das die primfaktoren dann ungerade sind ( weil die 2 ja die einzige gerade Primzahl ist ).Aber warum sind alle ungeraden Primfaktoren der Form : oder ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Jede natürliche Zahl lässt bei Division durch 4 einen der vier Reste 0,1,2,3. Die Reste 0 und 2 gehören zu geraden Zahlen, die Reste 1 und 3 zu ungeraden - noch Fragen?
 
 
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt ! nein alles klar zu a )

mein Versuch von b) :
Angenommen es gäbe endlich viele Primzahlen der Form , etwa wegen ist die Menge nicht leer bzw

falls nun n gerade ist setzt man :
wegen

gibt es eine Primzahl die dieses n teilt nach a) .

wegen
muss auch was ja laut vorraussetzung nicht sein kann .

falls nun n ungerade ist setzt man :
wegen

gibt es eine Primzahl die dieses n teilt nach a) .

wegen
muss auch was ja laut vorraussetzung nicht sein kann .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von georg2000
falls nun n gerade ist setzt man

[...]

falls nun n ungerade ist setzt man .

Du meinst hier "k gerade/ungerade" !!!

Man könnte auch ohne Fallunterscheidung einfach setzen.
georg2000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja sry mein fehler !

so wie du sagst :
wenn nun eine natürliche zahl n die form hat :
dann ist dieses n ist ungerade und wird daher von einem geteilt

da aber auch
so auch
was ja nicht sein kann , Widerspruch .
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