Matrizenprodukt - Faktoren konstruieren

18.05.2018, 20:41	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizenprodukt - Faktoren konstruieren Hallo zusammen, folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten: Sei $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Finden Sie Matrizen $\begin{eqnarray} S \in \mathbb R^{3 \times 3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T \in \mathbb R^{4 \times 4} \end{eqnarray}$ , so dass: $\begin{eqnarray} S \cdot A \cdot T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mein Ansatz war jetzt, erstmal durch ganz normale Zeilen und Spaltenumformungen die Matrix A in die Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zu bringen und dann aus Elementarmatrizen die linke Matrix aus den Zeilenumformungen zu machen und die rechte Matrix aus den Spaltenumformungen zu bilden. Leider scheitere ich bereits daran die Matrix in die gewünschte Form zu bringen. Könnte mir jemand sagen , ob ich den falschen Ansatz verfolge oder , falls der Ansatz in eine gute Richtung geht , wäre es schön , wenn mir jemand sagt , ob man die Matrix ganz normal in die gewünschte Form bringen kann. LG Snexx_Math
19.05.2018, 10:29	sixty-four	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizenprodukt - Faktoren konstruieren Deine Idee ist doch richtig. Du musst wie beim Gauß-Algorithmus Linearkombinationen von Zeilen bilden, so dass das linke untere Dreieck 0 wird. Dann musst du entsprechende Spaltenoperationen machen, um das selbe für das rechte obere Dreieck zu erreichen. Jetzt musst du dir überlegen, welche Matrixoperationen du dafür brauchst. Wenn du A von links mit einer Matrix $\begin{eqnarray} S_1 \end{eqnarray}$ multiplizierst, steht im Ergebnis in Zeile i und Spalte j das Skalarprodukt der Zeile i von $\begin{eqnarray} S_1 \end{eqnarray}$ mit der Spalte j von A. Also sind die Zeilen von $\begin{eqnarray} S_1 \end{eqnarray}$ gewissermassen immer die Koeffizienten der Linearkombination. Wenn du also z.B. die erste Zeile von A unverändert lassen willst, muss die erste Zeile von $\begin{eqnarray} S_1 \end{eqnarray}$ so aussehen: (1 0 0) Wenn du von der zweiten Zeile das doppelte der ersten subtrahieren willst, muss die zweite Zeile so aussehen: (-2 1 0) u.s.w. Das kannst du jetzt schrittweise fortsetzen und erhältst eine Folge von Linksmultiplikatoren $\begin{eqnarray} S_1, S_2, \dots S_n \end{eqnarray}$ Deine Matrix S ist dann das Produkt dieser Matrizen. Für die Spaltenoperationen machst du das genauso und kommst damit zu deiner Matrix T.
19.05.2018, 21:06	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizenprodukt - Faktoren konstruieren Alles klar , hatte nen Umformungsfehler bei den Spaltenumformungen. Hat jetzt geklappt , danke

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