Anfangswert Problem lösen mit Picard-Lindelöf

19.05.2018, 00:50

xxJan

Anfangswert Problem lösen mit Picard-Lindelöf

Hallo zusammen,

ich tue mich gerade schwer bei einer Aufgabe, da ich mit dem Näherungsverfahren von Picard-Lindelöf nicht ganz zurechtkomme. Deshalb wollte ich mal Fragen ob mir einer von euch helfen kann.

das Problem liegt iwie bei der Anwendung, da es ja eigentlich nur in eine Formel einsetzen ist, jedoch weiß ich nicht welche Angabe der Aufgabe wofür da ist.

Die mir bekannte Formel ist:

$\begin{eqnarray*} g_{n+1}(x) = y_{0}+\int_{x_{0} }^{x} \! f(t,g_{n}(t) ) \, dt \end{eqnarray*}$

vielen Dank bereits im Vorraus

LG

19.05.2018, 11:02

10001000Nick1

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Ich schreibe die Iteration nochmal etwas anders auf, damit die Variablennamen zu denen in deiner Aufgabe passen:
Die Picarditeration zum Anfangswertproblem $\begin{eqnarray*} x'(t)=f(t, x(t)),\ x(t_0)=x_0 \end{eqnarray*}$ ist definiert durch
$\begin{eqnarray*} g_0(t)=x_0, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g_{n+1}(t)=x_0+\int_{t_0}^t f(s, x_n(s))\, ds \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du nur noch mit deiner DGL vergleichen, was $\begin{eqnarray*} f(t, x(t)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ sind und einsetzen.

19.05.2018, 18:31

xxJan

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Das ist ja iwie ein Problem von mir, ich habe keine Ahnung was hier die DGL ist... und wie finde ich heraus was t0 ist?

19.05.2018, 23:26

10001000Nick1

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Zitat:

Original von xxJan
ich habe keine Ahnung was hier die DGL ist...

Die steht doch in deiner Aufgabe. verwirrt

$\begin{eqnarray*} \begin{aligned} x'(t)&=f(t, x(t)) &, \, x(t_0) = x_0 \\ x'(t)&=x(t) &,\, x(0) = x_0 \end{aligned} \end{eqnarray*}$
Da steht jetzt alles direkt untereinander, was zusammengehört.

21.05.2018, 09:13

xxJan

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Ist das dann die erste Interation?

$\begin{eqnarray*} x_{0}+\int_{t}^{t_{0}} \! x(t) \, ds \end{eqnarray*}$

Iwie stehe ich da noch auf dem Schlauch wie das mit dem $\begin{eqnarray*} f(s,x_{n}(s) \end{eqnarray*}$ funktioniert.

21.05.2018, 20:12

10001000Nick1

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Wenn allgemein $\begin{eqnarray*} x'(t)=f(t, x(t)) \end{eqnarray*}$ ist und bei dir speziell $\begin{eqnarray*} x'(t)=x(t) \end{eqnarray*}$ , dann muss offensichtlich $\begin{eqnarray*} f(t, x(t))=x(t) \end{eqnarray*}$ sein.

Deine Iteration stimmt nicht. (U.a. hast du die Integrationsgrenzen vertauscht.)
Richtig ist
$\begin{eqnarray*} g_0(t)=x_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g_{n+1}(t)=x_0+\int_{t_0}^t f(s, g_n(s))\, ds = x_0+\int_{t_0}^t g_n(s)\, ds \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kannst du noch $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ einsetzen und danach $\begin{eqnarray*} g_1, g_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_3 \end{eqnarray*}$ berechnen.

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