Vorstellung im Zirkus

19.05.2018, 13:05

Illa

Vorstellung im Zirkus

Liebe Mathefreunde,

gerade steige ich in das Thema Kombinatorik ein und komme gerade bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Ein Lehrer verteilt an seine Schulklasse mit 20 Schülern beliebig 4 Freikarten für eine Vorstellung beim Zirkus.

Wieviele Möglichkeiten der Auswahl hat der Lehrer wenn:

a) jeder Schüler höchstens eine Karte bekommen darf und die Sitzplätze im Zirkuszelt nummeriert sind?

Meine Lösungsweg: $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k)!}=\frac{20!}{(20-4)!} \end{eqnarray*}$

b) jeder Schüler auch mehrere Karten bekommen kann und die Sitzplätze im Zirkuszelt nummeriert sind?

Mein Lösungsweg: $\begin{eqnarray*} n^{k} =20^{4} \end{eqnarray*}$

c) jeder Schüler höchstens eine Karte bekommt und freie Platzwahl gilt?

Meine Lösungsweg: $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k)!}=\frac{20!}{(20-4)!} \end{eqnarray*}$

Ist mein Lösungsweg hier richtig oder leite ich mir die Aufgabe falsch ab?

Hammer

19.05.2018, 15:53

Kääsee

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Es sollte dir zu denken geben, dass du bei a) und c) die gleichen Ergebnisse hast Augenzwinkern

Meiner Meinung nach sind a) und b) richtig.
Bei a) stellst du dir quasi vor, du "vergibst" zuerst Platzkarte X, dann Plaztzkarte Y usw. Für X hast du 20Möglichkeiten, für Y nur noch 19usw.
Bei c) spielt es jetzt keine Rolle mehr, welchen Platz du "zuerst" vergibst, weil sich die Schüler ja ihren Platz frei wählen können.
Das entspricht in etwa einer Ziehung von 4 aus 20Objekten ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge Augenzwinkern

Edit: kann man sich quasi vorstellen, als ob die 4 ausgewählten Schüler ihre Plätze untereinander tauschen können. Wie viele Möglichkeiten sind also jeweils gleichwertig?

19.05.2018, 16:55

Dopap

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ich wollte schon posten, bin aber beim Nachdenken über b.) eingeschlafen Augenzwinkern

nun, $\begin{eqnarray*} 20^4 \end{eqnarray*}$ sind Variationen mit Zurücklegen und ich seh' nix zum Zurücklegen.
Das passende Urnenmodell ist meiner Meinung nach:

auf wie viel Arten lassen sich 4 unterscheidbare Kugeln in 20 unterscheidbare Urnen legen?

Bisher ist mir noch nichts passendes eingefallen, aber es besteht natürlich die Möglichkeit, dass ich und der Aufgabensteller mal wieder verschiedener Meinung sind was "Arten" bedeutet. Seien

{A,B,C,...,T} die Schüler und {1,2,3,4} die Sitzplatzkarten dann ist für mich z.B.

K{1,2}+Q{3,4} verschieden von K{1,3}+Q{2,4}

und auch

K{1,2,3}+Q{4} verschieden von K{1,2,4}+Q{3}

19.05.2018, 17:39

Kääsee

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@Dopap: zu b) dachte ich mir das so: für den ersten zu vergebenden Sitzplatz gibt es 20 Möglichkeiten, einen Schüler auszuwählen. Bei den restlichen Sitzplätzen ebenso, da der erste gewählte Schüler ja noch eine weitere Karte bekommen kann. Sogesehen wird also der Schüler "zurückgelegt".

19.05.2018, 19:04

Dopap

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ja, da ist was dran. Siehe II.)
Wenn man das Problem reduziert und nur von blanken Freikarten redet, dann ist das passende Urnenmodell:

I.) Auf wie viel Arten lassen sich s=4 ununterscheidbare Kugeln auf n=20 unterscheidbare Urnen verteilen? oder gleichwertig:

II.) wie viel ungeordnete s Stichproben mit Zurücklegen hat eine n Menge ?

und das sind in beiden Fällen

$\begin{eqnarray*} A_1(20,4)=\binom{n+s-1}{4}=\binom{23}{4}=8855 \end{eqnarray*}$

verständlich, dass das schläfrig macht? Schläfer

20.05.2018, 13:45

Illa

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zu b)

Das Sitzplätze eine Nummerrierung haben ist nicht weiter relevant da max. 4 Karten vergeben werden können.
Also $\begin{eqnarray*} n^k = 20^4 \end{eqnarray*}$

zu c)

Freie Platzwahl kann weggelassen werden da jeder Schüler max. 1 Karte bekommen kann impliziert mir das hier eine Reinfolge ohnen Zurückliegen vorliegt:

$\begin{eqnarray*} n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4+1)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 20(20-1)(20-2)(20-3)(20-4+1) \end{eqnarray*}$

20.05.2018, 15:55

Dopap

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wenn die Kartennummerierung entfällt, dann sind es

Zitat:

Original von Dopap

I.) Auf wie viel Arten lassen sich s=4 ununterscheidbare Kugeln auf n=20 unterscheidbare Urnen verteilen?

$\begin{eqnarray*} A_1(20,4)=\binom{n+s-1}{4}=\binom{23}{4}=8855 \end{eqnarray*}$

Möglichkeiten.

wenn nicht - wie im Original vorgesehen - sind es richtigerweise $\begin{eqnarray*} n^k=20^4=160.000 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten.

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