Ungleichungen äquivalente Umformung

19.05.2018, 15:31

jugin2509

Ungleichungen äquivalente Umformung

Hallo, ich habe ein Verständnisproblem bei einer Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} Gegeben: f(x)=4x^{3} h(x)=0,1x^{4} Finde alle x-Werte für die gilt: h(x) < f(x) 0,1x^{4} < 4x^{3} / :x² oder :x³ \end{eqnarray*}$

Wenn ich den Weg mit :x² gehe komme ich auf das richtige Ergebnis. Falls ich den anderen gehen, dann verliere ich ja logischerweise ein Ergebnis.Worauf müsste ich jetzt quasi achten, wenn ich mich entscheide ob ich durch x² oder durch x³ teile.

Hoffe jemand kann mir ein wenig bei dem Problem helfen oder mir den Oberbegriff von diesem Thema sagen, weil es für mich von Anfang an ja nicht ganz klar ist durch was zu teilen ist.

Grüße Eugen

19.05.2018, 15:41

Kääsee

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Wenn du durch x^3 teilst, spielt es eine Rolle, ob x<0 ist, da sich dann das Ungleichheitszeichen umdreht. Generell musst du auch noch aufpassen, falls x=0.

19.05.2018, 17:57

Bürgi

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RE: Ungleichungen äquivalente Umformung
Guten Tag,

nur ein Alternativvorschlag:

$\begin{eqnarray*} 0,1x^4<4x^3~\implies~0,1x^4-4x^3<0~\implies~0,1x^3(x-40)<0 \end{eqnarray*}$

Und nun: Ein Produkt aus zwei Faktoren ist negativ, wenn die Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben.

Hieraus ergeben sich simple Ungleichungen, die sämtliche Möglichkeiten beeinhalten:

$\begin{eqnarray*} \left( 0,1x^3<0\ \wedge\ \ x-40>0 \right)~~\vee~~\left(0,1x^3>0\ \wedge\ \ x-40<0 \right) \end{eqnarray*}$

Und jetzt du!

und tschüs! Wink

19.05.2018, 19:41

jugin2509

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Zitat:

Original von Bürgi
Guten Tag,

nur ein Alternativvorschlag:

$\begin{eqnarray*} 0,1x^4<4x^3~\implies~0,1x^4-4x^3<0~\implies~0,1x^3(x-40)<0 \end{eqnarray*}$

Und nun: Ein Produkt aus zwei Faktoren ist negativ, wenn die Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben.

Hieraus ergeben sich simple Ungleichungen, die sämtliche Möglichkeiten beeinhalten:

$\begin{eqnarray*} \left( 0,1x^3<0\ \wedge\ \ x-40>0 \right)~~\vee~~\left(0,1x^3>0\ \wedge\ \ x-40<0 \right) \end{eqnarray*}$

Und jetzt du!

und tschüs! Wink

Hallo, ich verstehe deine Lösung. Das wäre eigentlich die Richtige und Ausführliche, da mit Fallunterscheidung.In meinem Buch ist die Lösung einfach nur: 0<x<40. Die haben also ein wenig anders gerechnet.Jetzt versuche ich drauf zu kommen wie.

Zitat:

Wenn du durch x^3 teilst, spielt es eine Rolle, ob x<0 ist, da sich dann das Ungleichheitszeichen umdreht. Generell musst du auch noch aufpassen, falls x=0.

Okay ich versuche das mal nachzuvollziehen:

$\begin{eqnarray*} 0,1x^{4} < 4x^{3} \end{eqnarray*}$ man sieht x ungleich 0.
$\begin{eqnarray*} 0,1x^{4} < 4x^{3} / :x^{2} \end{eqnarray*}$ Das dann nach 0 umformen und mit pq-Formel lösen wäre erlaubt, da immer gilt $\begin{eqnarray*} x^{2}\geq 0 \end{eqnarray*}$ und sich dadurch auch kein Ungleichzeichen ändert. Durch x³ darf ich hingegen nicht, da es ja auch negativ werden kann und dadurch wieder alles durcheinander bringt.
Nach der Logik dürfte ich ja auch nicht durch x oder z.B $\begin{eqnarray*} x^{5} \end{eqnarray*}$ teilen.
Hoffe ich habs verstanden was du mir damit sagen wolltest.

Wie gesagt auf die Lösung 0<x<40 würde ich ja auch kommen mit :x² --> pq-Formel.

Gruß Eugen smile

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