Geburtstagsparadoxon - nach k auflösen

19.05.2018, 16:53

Philipp_

Geburtstagsparadoxon - nach k auflösen

Halllo,
in einer Vorlesung hat der Professor das Geburtstagsparadoxon vorgerechnet. Es geht darum, die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, daß von k Personen mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben.
Er hat die Gleichung nach k aufgelöst, so daß man für eine gegebene Wahrscheinlichkeit die Anzahl der nötigen Personen ausrechnen kann.

Es sei w die Wahrscheinlichkeit, dass es zu keiner Kollision kommt, also daß alle k Teilnehmer an anderen Tagen Geburtstag haben. n = 365

$\begin{eqnarray*} w = \prod\limits_{i = 0}^{k-1} \frac{n-i}{n} = \prod\limits_{i = 0}^{k-1} 1- \frac{i}{n}; \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} 1-x \leq e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w \leq \prod\limits_{i = 0}^{k-1} e^{-i/n} \end{eqnarray*}$

Additionstheorem:
$\begin{eqnarray*} w \leq exp\left(\sum\limits_{i=0}^{k-1} -\frac{i}{n} \right) = exp\left(-\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{k-1} i \right) \end{eqnarray*}$

Gauß:
$\begin{eqnarray*} w \leq exp\left(-\frac{k(k-1)}{2n} \right) \end{eqnarray*}$

ln:
$\begin{eqnarray*} \ln w \geq -\frac{k(k-1)}{2} \end{eqnarray*}$

Ich habe das so von der Tafel abgeschrieben, weiß aber nicht genau, ob alles richtig ist.

$\begin{eqnarray*} k (k-1) \geq -2 \ln w \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k^2 -k + 2 \ln w \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k \geq \frac{1\pm\sqrt{1-8n\ln w} }{2} \end{eqnarray*}$

heraus

Ich glaube, daß das Ergebnis stimmt, weil er damit einige konkrete Werte berechnet. Aber wahrscheinlich habe ich mich aber beim Abschreiben mit den $\begin{eqnarray*} \geq \leq \end{eqnarray*}$ vertan. Ändert sich das $\begin{eqnarray*} \geq \leq \end{eqnarray*}$ , wenn man beide Seiten logarithmiert? Oder ist ein anderer Fehler drin?

Danke, Philipp

19.05.2018, 17:02

Dopap

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beim log bleibt das gewählte Zeichen erhalten da der log streng monoton steigend ist.
Das Argument muss aber beim log größer Null sein.

19.05.2018, 17:38

Philipp_

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Zitat:

Original von Dopap
beim log bleibt das gewählte Zeichen erhalten da der log streng monoton steigend ist.
Das Argument muss aber beim log größer Null sein.

Das blöde ist, dass im Endergebnis die $\begin{eqnarray*} \geq \leq \end{eqnarray*}$ korrekt sind:

$\begin{eqnarray*} k \geq \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 n \ln w} }{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w \leq 0,56 \Rightarrow k \geq 21,08 \end{eqnarray*}$

ist k also mindestens 22, ist die Wahrscheinlichkeit, daß es zu keiner Kollision kommt, kleiner als 0,56. Wird k kleiner, z.B. k = 21, wird w größer als 0,56.
(edit: k =21 --> w = 0,5625 )

Die $\begin{eqnarray*} \geq \leq \end{eqnarray*}$ sind also ab dem ln korrekt, aber vorher wahrscheinlich falsch. Ich weiß bloß nicht, wo genau.

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