Polynomdivision im F2

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Micha98 Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomdivision im F2
Meine Frage:
Guten Tag,

wir sollen als Hausaufgabe die Polynome und über den Körper F2 mit Rest dividieren, ich bin mir aber nicht sicher wie genau das funktioniert und würde mich daher über Hilfe freuen.

Meine Ideen:
Grundsätzlich funktioniert es ja wie normale Polynomdivision aber ich steige leider trotzdem nicht wirklich durch.
zinR Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivision im F2
Hi,

du hast schon recht, es funktioniert genau wie bei der Polynomdivision aus der Schule, nur, dass über gilt, dass .

Ein kleines Beispiel: Ich möchte das Polynom durch das Polynom mit Rest teilen, d.h. ich suche , sodass .
Im nächsten Schritt rechnest du wie in der Schule, nur ersetzt du während der Rechnung jede ungerade Zahl durch 1, und jede gerade Zahl durch 0. (Formal gesehen sind die Zahlen, mit denen du hier rechnest als die Bilder des Homomorphismus zu lesen, und hier verwendest du dann .)

Weil ich mich schwer tue, die Rechnung für dieses Beispiel sauber in LaTeX zu tippen, zeige ich dir die Rechnung rückwärts. (D.h. ich zeige dir, dass das Ergebnis stimmt.)

Behauptung: . Mit den Bezeichnungen von oben ist .

Die Rechnung: , wie behauptet.

Versuche mal die Polynomdivision durchzuführen.
 
 
Micha98 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivision im F2
Hallo,

ersteinmal vielen Dank für deine Antwort.

Ich habe einmal versucht mein Vorgehen ein wenig zu visualisieren. Leider kann ich keine Screenshots posten, obwohl ich mich extra dafür angemeldet habe. Daher versuche ich es so:

(X(hoch)5 + X³ + X² + 1) : (X³ + X² + 1) = X² - X
- (X(hoch)5 + X(hoch)4; + X²)
_____________________
(- X(hoch)4 + X³ + 1)
- (- X(hoch)4 - X³ - X)
__________________________
(X + 1)

Ich weiß leider weder ob ich bis jetzt alles richtig gemacht habe, noch ob wie ich jetzt weiter machen muss.

Vielen Dank für die Hilfe.
Micha98 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivision im F2
Ich bin jetzt auf das Ergebnis mit Rest gekommen. Ist das richtig?
zinR Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomdivision im F2
Ja, ich würde sagen, dass das richtig ist. Beachte noch, dass , wegen .

Auch die Rechnung sieht ok aus. Auch hier dürftest du allerdings schon rechnen. Aber das macht hier ja keinen Unterschied. smile
Micha98 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, vielen Dank für den Hinweis!

Dann hätte ich jetzt noch eine letzte Frage:

Die Art, auf die ich das Ergebnis aufgeschrieben habe, ist die richtig?



Vielen Dank für deine Hilfe!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Screenshots solltest du wohl posten können! Beachte aber, dass die Dateigröße beschränkt ist!
Verwende vorzugsweise Grafiken mit der Endung *.JPG oder *.PNG, keine Bitmaps, denn *.BMP sind fast immer zu groß!
-----------
Das Ergebnis einer Polynomdivision wird immer als ganzrationaler Quotient + Rest/Divisor angeschrieben.
Insoferne ist dein Resultat korrekt.

mY+
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Micha98
Die Art, auf die ich das Ergebnis aufgeschrieben habe, ist die richtig?




Zitat:
Original von mYthos
Das Ergebnis einer Polynomdivision wird immer als ganzrationaler Quotient + Rest/Divisor angeschrieben.


Mir würde es besser gefallen, die Quotienten zu vermeiden und die Gleichung mit durchzumultiplizieren.
(D.h. ich würde schreiben: .)

Begründung: Wir arbeiten im Ring . Wollen wir mit Quotienten arbeiten, so sollten wir auf den zugehörigen Quotientenkörper ausweichen, und das ist (für die Polynomdivision) eigentlich nicht nötig.
Das ist wohl Geschmacksache. In jedem Fall stimmt das Ergebnis, und keine der Schreibweisen ist falsch.
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