Fläche zwischen geschlossener Kurve berechnen

19.05.2018, 18:24	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Fläche zwischen geschlossener Kurve berechnen Hey Leute, Könnt ihr mir bitte helfen? Implizit ist eine Fläche gegeben, die durch die Kurve $\begin{eqnarray} K(t)=\begin{pmatrix} 2\cos(t) \\ \sin(t) \\ \sin(t)+1 \end{pmatrix},\ t\in[0,2\pi) \end{eqnarray}$ eingeschlossen wird. Gesucht wird: 1) Parametrisierung der Fläche 2) Einen Normalenvektor auf der Fläche (ohne Verwendung der Parametrisierung) 3) Ist es möglich den Flächeninhalt mit dem (ebenen) Integralsatz von Gauß zu bestimmen? Falls ja, wie? Vielen Dank schon mal an alle, die mit knobeln
19.05.2018, 20:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, daß es unendlich viele Flächen gibt, die von $\begin{align} K \end{align}$ berandet werden. Gesucht ist wohl eine ebene Fläche, die von $\begin{align} K \end{align}$ umschlossen wird. Das unterstellt, daß $\begin{align} K \end{align}$ eine ebene Kurve ist. Und in der Tat, mit $\begin{align} x = 2 \cos t \, , \ \ y = \sin t \, , \ \ z = 1 + \sin t \end{align}$ berechnet man $\begin{align} \text{(1)} \ \ -y+z = 1 \end{align}$ $\begin{align} \text{(2)} \ \ \frac{x^2}{4} + y^2 = 1 \end{align}$ Die erste Gleichung beschreibt eine Ebene parallel zur $\begin{align} x \end{align}$ -Achse, die zweite Gleichung einen Zylinder in $\begin{align} z \end{align}$ -Richtung mit einer Ellipse in der $\begin{align} xy \end{align}$ -Ebene als Grundfläche. Die gegebene Kurve ist daher der Schnitt von Ebene und Zylinder. Wenn man sich das grob vorstellt, stellt sich vor dem geistigen Auge wieder das Bild einer Ellipse ein. [attach]47217[/attach] Für $\begin{align} t=0,\frac{1}{2} \pi, \pi, \frac{3}{2} \pi \end{align}$ bekommt man der Reihe nach die Punkte $\begin{align} A,B,A',B' \end{align}$ (siehe Zeichnung). Die Geraden $\begin{align} AA' \end{align}$ und $\begin{align} BB' \end{align}$ scheinen die Symmetrieachsen der Ellipse zu sein, $\begin{align} M \end{align}$ die Ellipsenmitte. Als aufspannende Einheitsvektoren nimmt man $\begin{align} \vec{e} = \frac{1}{2} \, \overrightarrow{MA} = (1,0,0) \, , \ \ \vec{f} = \sqrt{\frac{1}{2}} \ \overrightarrow{MB} = \sqrt{\frac{1}{2}} \ (0,1,1) \end{align}$ Durch Berechnung des Skalarprodukts bestätigt man, daß $\begin{align} \vec{e} \end{align}$ und $\begin{align} \vec{f} \end{align}$ tatsächlich senkrecht aufeinander stehen. Alles paßt zusammen. Jeden Punkt $\begin{align} (x,y,z) \end{align}$ der Ebene $\begin{align} -y+z=1 \end{align}$ kann man im neuen Koordinatensystem ausdrücken: $\begin{align} (x,y,z) = (0,0,1) + u \, \vec{e} + v \, \vec{f} \end{align}$ $\begin{align} u,v \end{align}$ sind die kartesischen Koordinaten bezüglich des Koordinatensystems $\begin{align} \left( M; \vec{e}, \vec{f} \right) \end{align}$ . Auch die Punkte der Kurve $\begin{align} K \end{align}$ können mit $\begin{align} u,v \end{align}$ ausgedrückt werden: $\begin{align} \left( 2 \cos t \, , \, \sin t \, , \, 1 + \sin t \right) = (0,0,1) + u \, \vec{e} + v \, \vec{f} \end{align}$ Durch Vergleich der Koordinaten findet man: $\begin{align} u = 2 \cos t \, , \ \ v = \sqrt{2} \sin t \end{align}$ Damit ist klar: $\begin{align} K \end{align}$ ist die gezeichnete Ellipse mit den Halbachsen $\begin{align} a = 2 \end{align}$ und $\begin{align} b = \sqrt{2} \end{align}$ .
21.05.2018, 11:23	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Leopold, geniale Herleitung, vielen Dank! Das heißt eine Parametrisierung der Ellipsenfläche in unserem neuen Koordinatensystem $\begin{eqnarray} (M,\vec{e},\vec{f}) \end{eqnarray}$ mit Polarkoordinaten würde so aussehen? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2r\cos(t) \\ \sqrt{2}r\sin(t) \end{pmatrix}, \ r\in[0,1], t\in[0,2\pi) \end{eqnarray}$ Ist es dann richtig, dass die Fläche der Ellipse mit dem Oberflächenintegral berechnet werden kann? $\begin{eqnarray} \iint\limits_F\mathrm{d}o=\iint\limits_F\underbrace{\|\vec{n}\|}_{=\|\vec{e}\times\vec{f}\|=\tfrac12}dF=\int\limits_{t=0}^{2\pi}\int\limits_{r=0}^{1}\frac{1}{2}\underbrace{abr}_{\text{det}(J_{(u,v)}(r,t))}\,\mathrm{d}r\mathrm{d}t=\dots=\sqrt{2}\pi \end{eqnarray}$
22.05.2018, 10:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Ellipse mit den Halbachsen $\begin{align} a \end{align}$ und $\begin{align} b \end{align}$ hat den Flächeninhalt $\begin{align} A = \pi ab \end{align}$ . Bei deinem Ergebnis fehlt daher ein Faktor 2. Ich sehe die folgenden Möglichkeiten, den Flächeninhalt $\begin{align} A \end{align}$ der Ellipse $\begin{align} E \end{align}$ zu bestimmen. 1. Zunächst arbeiten wir im kartesischen $\begin{align} uv \end{align}$ -Koordinatensystem bezüglich $\begin{align} \left( M ; \, \vec{e} , \vec{f} \right) \end{align}$ . Dann kann man $\begin{align} A \end{align}$ mit Hilfe eines Bereichsintegrals ermitteln: $\begin{align} A = \int_E \dd(u,v) \end{align}$ Mit der Substitution $\begin{align} u = 2r \cos t \, , \ v = \sqrt{2} \, r \sin t \, ; \ \ 0 \leq t \leq 2 \pi \, , \ 0 \leq r \leq 1 \end{align}$ läßt sich das Integral berechnen. Der neue Integrand ist der Betrag der Funktionaldeterminanten der Substitution. 2. Oder man beruft sich auf den Satz von Green. Dann gilt: $\begin{align} A = \int_E \dd(u,v) = \int_{\partial E} u ~ \dd v \end{align}$ Auf der rechten Seite steht ein Kurvenintegral. Für die Kurve, also die Ellipse, kann man die Parametrisierung $\begin{align} u = 2 \cos t \, , \ v = \sqrt{2} \, \sin t \, ; \ \ 0 \leq t \leq 2 \pi \end{align}$ verwenden. Vielleicht verwendet ihr beim Kurvenintegral für den Integranden andere Schreibweisen wie $\begin{align} (0,u) \bullet (\dd u , \dd v) \end{align}$ . 3. Schließlich kann man das zweidimensionale kartesische $\begin{align} uv \end{align}$ -Koordinatensystem mittels einer dritten Koordinate $\begin{align} w \end{align}$ zu einem dreidimensionalen $\begin{align} uvw \end{align}$ -Koordinatensystem ergänzen. Jetzt hat die Ellipsenfläche die Parameterdarstellung $\begin{align} u = 2r \cos t \, , \ v = \sqrt{2} \, r \sin t \, , \ w = 0 \end{align}$ Man bestimmt einen Normalenvektor $\begin{align} \vec{n} = \left( \frac{\partial u}{\partial r} , \frac{\partial v}{\partial r} , \frac{\partial w}{\partial r} \right) \times \left( \frac{\partial u}{\partial t} , \frac{\partial v}{\partial t} , \frac{\partial w}{\partial t} \right) \end{align}$ und berechnet $\begin{align} A = \int \limits_0^{2 \pi} \int \limits_0^1 \left\| \vec{n} \right\| ~ \dd r ~ \dd t \end{align}$ 4. Oder man rechnet im ursprünglichen $\begin{align} xyz \end{align}$ -Koordinatensystem. Man substituiert in $\begin{align} (x,y,z) = (0,0,1) + u \, \vec{e} + v \, \vec{f} \end{align}$ für $\begin{align} u = 2r \cos t \end{align}$ und für $\begin{align} v = \sqrt{2} \, r \sin t \end{align}$ und erhält $\begin{align} x = 2r \cos t \, , \ y = 1 + r \sin t \, , \ z = r \sin t \end{align}$ Wieder bestimmt man einen Normalenvektor $\begin{align} \vec{m} = \left( \frac{\partial x}{\partial r} , \frac{\partial y}{\partial r} , \frac{\partial z}{\partial r} \right) \times \left( \frac{\partial x}{\partial t} , \frac{\partial y}{\partial t} , \frac{\partial z}{\partial t} \right) \end{align}$ und berechnet $\begin{align} A = \int \limits_0^{2 \pi} \int \limits_0^1 \left\| \vec{m} \right\| ~ \dd r ~ \dd t \end{align}$ Jedes Mal sollte sich nichts anderes als $\begin{align} 2 \sqrt{2} \, \pi \end{align}$ als Wert ergeben.
22.05.2018, 14:44	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Leopold! Die Möglichkeiten 1&2 habe ich genauso vorher gerechnet, aber mir ist nicht aufgefallen, dass ich bei Methode 3 den Normalenvektor falsch berechnet habe. Ich habe n=e x f berechnet, die Vektoren selbst enthalten aber nicht die Parametrisierungen. Also wirklich das Kreuzprodukt der Tangentialvektoren in ursprünglichen Koordinaten wie in 4. oder in den neuen Koordinaten wie in 3. (oder man nimmt den ebenen Satz von Gauß, dann reichen u und v ). Dieses Beispiel hat mir auf jeden Fall gezeigt, dass die Länge der Tangentialvektoren wichtig sind! Die haben dann den entscheidenen Einfluss auf n, was ich falsch gemacht habe. Suuuuper, ich danke dir

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »