Nilpotente Matrizen

19.05.2018, 21:13

Snexx_Math

Nilpotente Matrizen

Hallo zusammen,

ich bräuchte mal ein paar Tipps für folgende Aufgabe:

Eine quadratische Matrix $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R^{n \times n} \end{eqnarray*}$ heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A^{k}=0 \end{eqnarray*}$ gibt. Beweisen oder widerlegen sie:

Die Summe zweier nilpotenter Matrizen ist nilpotenter Matrizen ist wieder nilpotent.

Ich denke diese Aussage ist falsch, man kann bestimmt Matrizen konstruieren wo das nicht so ist.
Aber ich frage mich ehrlich gesagt wie konstruiert man sich überhaupt nilpotente Matrizen ? und wie dann solche die in der Summe nicht mehr nilpotent sind.

Als Info: wir hatten weder Determinanten weder Adjunkte Matrizen noch den Rang einer Matrix.
Eigentlich haben wir alles immer mit dem Gaußverfahren gelöst.

Danke für jede Hilfe smile

LG

Snexx_Math

19.05.2018, 21:43

Mulder

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RE: Nilpotente Matrizen

Zitat:

Original von Snexx_Math
Aber ich frage mich ehrlich gesagt wie konstruiert man sich überhaupt nilpotente Matrizen ? und wie dann solche die in der Summe nicht mehr nilpotent sind.

Indem man es sich möglichst einfach hält. D.h. bastle ein bisschen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ rum. Vorzugsweise natürlich mit Matrizen mit möglichst vielen "Nulleinträgen". Augenzwinkern

19.05.2018, 21:44

Leopold

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$\begin{align*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align*}$

Jetzt gib eine andere ebenso einfache nilpotente Matrix an, so daß die Summe von dieser hier und deiner keine nilpotente Matrix ergibt.

19.05.2018, 22:11

Snexx_Math

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oh man , ja dann nehme ich einfach mal :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{2}=0 \end{eqnarray*}$

Aber $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist niemals 0 sondern tauscht nur die Einträge.

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