A nilpotent -> E_n - A invertierbar

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Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
A nilpotent -> E_n - A invertierbar
Hallo zusammen,

ich könnte nen Denkansatz vertragen.

Wenn eine Matrix nilpotent ist , also ab einem

Dann ist invertierbar

Unsere Defintion, von invertierbar , war jeweils einer von den zwei Sätze:
- Eine quadratische Matrix A ist invertierbar wenn eine Matrix B ex. , so dass
oder
- A invertierbar, wenn man A in Zeilenstufenform bringen kann.

Wir hatten keine Determinanten oder Ränge von Matrizen.

Und jetzt stehe ich vor dem Problem , dass ich überhaupt keine Idee habe unglücklich

LG

Snexx_Math
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wüßte nicht, wie ich dir helfen sollte, ohne den Trick gleich zu verraten. Vielleicht machen wir es einmal so: Nimm an, , und denke in diesem konkreten Fall zum Beweis der Aussage an die dritte binomische Formel. Dann überlege, wie man das Vorgehen auf übertragen kann.
 
 
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »

hmm also ich weiß nicht ob man das machen darf, also distributivität gilt bei Matrizen , also multipliziert man jetzt die Matrizen wie Klammern aus ?

Also z.B.: ?

und somit invertierbar.

EDIT:
? gilt , habe mir das gerade hergeleitet:

Sei E=(C+D)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht, wenn du vorsichtig bist. Im allgemeinen gelten die binomischen Formeln bei Matrizen nicht, weil die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist:



Und hier darf man in der Tat die gemischten Glieder nicht zu zusammenfassen. Manchmal gibt es aber Matrizen , die, wie man sagt, miteinander vertauschbar sind, für die als zufällig gilt. Wenn das der Fall ist, dann gelten die binomischen Formeln auch: .
Und die Einheitsmatrix ist mit jeder anderen Matrix vertauschbar. Deswegen darfst du zum Beispiel in mit der 1. binomischen Formel und in mit der dritten binomischen Formel arbeiten.

Du hast gerade gezeigt, daß für mit die Matrix die inverse Matrix von ist. Jetzt überlege, wie du konkret die Inverse von angeben könntest, wenn ist. Probiere ein bißchen herum. Es ist so eine Art Erweiterung der 3. binomischen Formel.
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold,

Ich habe jetzt einige Zeit lang herumprobiert und nachgedacht. Leider komme ich nach dem Beispiel mit nicht weiter. Ich habe verstanden, dass wir das Inverse bestimmen, um zu sagen , dass invertierbar ist. Aber für ein beliebiges k schaff ich es iwie nicht. Könntest du mir noch eien Tipp geben ?

LG
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

ich kann Leopold sehr gut verstehen, wenn er sagt, dass man mit einem Tipp leicht alles verrät.

Ich will mal noch eine Idee beisteuern, die vielleicht nicht gleich alles verrät:

Gehen wir mal umgekehrt an die Sache heran. Wir wollen eine Matrix finden, so dass . Das können wir umstellen zu . Die Gleichung kann man in sich selbst einsetzen. Fällt dir was auf?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Oder von einer anderen Seite.

Wir arbeiten mit einer Variablen in den reellen Zahlen. Jetzt soll gelten, also . Offenbar ist 1 eine Nullstelle des Polynoms . Also kann man den Linearfaktor abspalten: Es muß folglich ein Polynom geben mit



Im Fall läuft das auf die dritte binomische Formel hinaus. Jetzt bestimme für die Fälle und mit Hilfe einer Polynomdivision. Spätestens jetzt kannst du die allgemeine Formel erraten und durch Ausmultiplizieren verifizieren. Und die gefundene Formel überträgst du auf Matrizen.
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »

zu Guppi12:

Dann müsste ich ja jetzt nur sagen, dass man B so oft in sich selber einsetzt bis man eine Potenz erhält.

Also z.B wenn

und dann gilt:

und so kann man das dann für beliebiges k weiterführen, also allgemein ist das Inverse immer:

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