Komplexes Polynom in Linearfaktoren zerlgen

20.05.2018, 10:40	YouAndMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexes Polynom in Linearfaktoren zerlgen Meine Frage: Hallo, ich soll das Polynom $\begin{eqnarray} x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+1x^{1}+1 \end{eqnarray}$ über den komplexen Zahlen mit a, b aus den komplexen Zahlen in Linearfaktoren zerlegen. Meine Ideen: Leider fehlt mir hier irgendwie die Idee, wie ich da dran gehen soll. ICh weiß, wie man mithilfe der Polynomdivision die Linearfaktoren bestimmt. Das Problem ist nur, dass ich das irgendwie nicht auf das komplexe übertragen kann und die a und b machen das auch nicht leichter.
20.05.2018, 10:48	YouAndMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Polynom soll $\begin{eqnarray} x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax^{1}+1 \end{eqnarray}$ heißen. Entschuldigung Kopf schüttel
20.05.2018, 11:00	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin moin, du könntest erstmal versuchen, das Polynom über den Ansatz $\begin{eqnarray} x^4+ax^3+bx^2+ax+1\stackrel{!}=(x^2+rx+s)\cdot\left(x^2+tx+\frac 1 s \right) \end{eqnarray}$ (r, s, t gesucht in Abhängigkeit von a, b) in zwei quadratische Faktoren zu zerlegen. Das bedeutet ausdauerndes Rechnen und mündet in einem nichtlinearen GS, das du voraussichtlich nicht schematisch lösen kannst; ist aber nicht schlimm, da es dir ja hier nicht um die Lösungsgesamtheit, sondern um das Auffinden irgendeiner Lösung geht. Daher kannst du bestimmte Setzungen ausprobieren, um irgendwie an eine Lösung heranzukommen. Die quadratischen Faktoren kannst du über dem Komplexen dann leicht mit der pq-Formel bzw. quadratischer Ergänzung in Linearfaktoren zerlegen. LG sibelius84
20.05.2018, 18:42	YouAndMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank für deine Antwort. Den Weg, den du mir beschreibst scheint zum Ziel zu führen. Leider kann ich den Weg nicht so ganz nachvollziehen; mit dem ausdauernden Rechnen scheinst du Recht zu haben, denn ich bin bisher nicht auf den angegeben Ansatz gekommen. Und wenn ich zu den quadratischen Faktoren kommen würde, wie genau löst man diese denn mit der pq-Formel über dem Komplexen? Tut mir leid, wenn ich nicht so ganz mitkomme, aber Aufgaben eines solchen Typs sind bisher überhaupt nicht drangekommen bzw. besprochen worden.
20.05.2018, 19:08	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleine Bemerkung: Man kann von vornherein $\begin{eqnarray} s=1 \end{eqnarray}$ setzen. Ansatz ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich fuehrt auf ein altes Raetsel: Von zwei Zahlen (hier $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ genannt) ist Summe und Produkt gegeben. Welche Zahlen sind es?
21.05.2018, 10:56	YouAndMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, wenn ich die Schritte ausführe, erhalte ich $\begin{eqnarray} t+ r= a <br /> t\cdot r= b- 2 \end{eqnarray}$ So wie ich das verstehe, möchte ich jetzt t und r in Abhängigkeit von a und b schreiben, sodass ich damit dann die quadratischen Faktoren aus dem Ansatz lösen kann. Jetzt ist nur die Frage, wie ich das mache, da ich ja viel zu viele Variablen habe.
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21.05.2018, 11:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was 005 angedeutet hat, nennt sich Satz von Vieta.
22.05.2018, 21:55	YouAndMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme leider immer noch nicht weiter, ich verstehe leider überhaupt nicht, was ich genau machen muss. Wenn es bereits geschrieben wurde, bitte ich um Entschuldigung, aber ich habe echt ein Brett vorm Kopf.

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