Ring der 2x2 Matrizen

Neue Frage »

FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »
Ring der 2x2 Matrizen
Die Menge der Matrizen mit Einträgen in ist ein nichtkommutativer Ring und ein Vektrorraum der Dimension 4.

(a) Zeigen Sie: Ist ein Links- oder ein Rechtsideal und ist , so ist .

(b) Geben Sie -Untervektorräume und von mit den folgenden Eigenschaften an:

  • dimdimdim
  • ist ein Unterring, aber weder Links- noch Rechtsideal
  • ist ein Linksideal, aber kein Rechtsideal.
  • ist ein Rechtsideal, aber kein Linksideal.


Meine Ideen:
zu (a)
ist die Menge der invertierbaren Elemente von . Wegen folgt:
mit dem Inversen.
, da ein Ideal ist.

Nach Definition des Ideals, gilt nun was zu zeigen war.

zu (b)
hier gehen die Probleme los...

Hoffa auf Ratschläge, Dankeschön smile
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Wirklich keiner eine Idee?
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Probier doch mal was die eindimensionalen VR machen, erzeugt von jeweils der Matrix mit einer 1 und sonst nur Nullen.
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs jetzt so gelöst:








Dimensionen
Offensichtlich ist für und es gilt:

Basis von ist gegeben durch:

Analog für die beiden anderen

kein Ideal
Wegen und der Tatsache, dass das Produkt von Diagonalmatrizen wieder diagonal ist, ist schonmal Unterring. Sei so ist:



damit kein Linksideal, Rechtsideal geht analog.

Linksideal


Nachrechnen zeigt, dass kein Rechtsideal ist.

Rechtsideal


Nachrechnen zeigt, dass kein Linksideal ist.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »