Lineare Optimierung

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enmi72 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Optimierung
Hallo

Eine Heizöllieferant hat 2 Öllager mit 68hl (L1) und 45hl (L2).
Er soll 3 verschiedene Firmen F1, F2, F3 beliefern, wobei F1 22hl, F2 33hl und F3 58hl erhalten sollen.

Die Transportkosten in Euro pro hl sind:
F1: 7,50 von L1 und 3,30 von L2
F2: 5,50 von L1 und 4,30 von L2
F3: 4,20 von L1 und 4,20 von L2

Die Transportkosten sollen minimal sein!

Mein Ansatz:
Sei x...hl aus L1 und y...hl aus L2
x>=0
y>=0
x <=68
y <=45
Aus F1 22hl, F2 33hl und F3 58hl folgt:
I: x+y=22
II: x+y=33
III: x+y=58

Aber wie mache ich nun weiter?

Danke für eure Hilfe
Schöne Grüße
enmi
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare optimierung
Der Ansatz ist leider schon falsch. Wenn Du mit x und y die je Lager verwendeten Mengen annimmst, kann das folgende nicht stimmen:
Zitat:
Original von enmi72
Aus F1 22hl, F2 33hl und F3 58hl folgt:
I: x+y=22
II: x+y=33
III: x+y=58


Schon die Logik sollte Dir sagen, dass sich diese Bedingungen widersprechen und somit das Problem nicht lösbar wäre. Inhaltlich macht es ebensowenig einen Sinn, denn wenn Du eine bestimmte Menge Öl (x oder y) geliefert hast, kann sie nicht mehr für die zweite Lieferung verwendet werden.

Entscheidende Frage vorweg: Besteht die Aufgabe darin das Modeel aufzustellen, oder es zu lösen? Wenn letzteres der Fall sein sollte: Ist das Symplexverfahren bekannt?
 
 
enmi72 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare optimierung
hallo
danke für deine antwort.

aus

Zitat:
Sei x...hl aus L1
und y...hl aus L2


und

Zitat:
Er soll 3 verschiedene Firmen F1, F2, F3 beliefern, wobei
F1 22hl,
F2 33hl und
F3 58hl
erhalten sollen.


folgt doch:

Zitat:
I: x+y=22
II: x+y=33
III: x+y=58


es ist ja gleichgültig von welchem lager (L1 oder L2) die firmen (F1, F2 und F3) beliefert werden.
oder nicht verwirrt
natürlich handelt es sich bei den 3 gleichungen um unterschiedliche x bzw. y werte (es ergeben sich auch unterschiedliche geradengleichungen).

grundsätzlich versuche ich die aufgabe mittels lineare optimierung zu lösen. das heißt durch aufstellen von ungleichungen und einer zielfunktion ergibt sich ein lösungsbereich (grafisch) und eine zielgerade. durch verschiebung der zielgeraden erhalte ich die lösung (minimum oder maximum).
symplexverfahren sagt mir leider nichts.

lg
enmi
enmi72 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare optimierung
habe mal versucht die aufgabe grafisch zu lösen. dabei habe ich festgestellt, dass beim verschieben der zielgeraden (die ich durch die addition der transportkosten erhalten habe) ich für die firma 1 einen y-wert von 22 und für die firma 3 einen y wert von 58 erhalte. was soweit ich glaube auch stimmen könnte. aber welche werte gelten jetzt für die firma 2?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst mir die lineare Optimierung nicht erklären. Wenn ich nicht wüsste, was das ist, würde ich nicht versuchen Dir zu helfen Augenzwinkern

Wir haben hier zwar zwei Öllager, aber zunächst einmal drei Unternehmen, die beliefert werden wollen. Ich würde deshalb zunächst mit 6 Variablen arbeiten: für die Ölmenge, die von Lager i nach Firma j transportiert wird.
Da die ausgelieferte Menge genau der nachgefragten entspricht, wirst Du mehrere Gleichungen erhalten, die Du nutzen kannst, um die Variablenzahl zu reduzieren.

Deine Vorgehensweise mit x und y ist so nicht praktikabel, da Du drei Gleichungen hast, die niemals gleichzeitig erfüllt sein können. Der zulässige Bereich deines Modells ist also die leere Menge.
enmi72 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo

vielen dank aber das hilft mir nicht wirklich weiter verwirrt

könntest du mir bitte ein beispiel für die zu erstellenden gleichungen (bzw. ungleichungen) geben

besten dank im voraus

sg
enmi
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch die meisten Gleichungen schon gehabt, nur halt in einer falschen Form.
x>=0 -->
y>=0 --> in erster Ungleichung enthalten
x <=68 -->
y <=45 -->

Wichtig: Gleichheit gilt hier nur, weil wir wissen, dass die komplette Menge auch ausgeliefert wird. Ansonsten würde hier verwendet werden.

Die fehlenden drei Ungleichungen für die Belieferung der drei Firmen solltest Du jetzt selber hinbekommen. Außerdem musst Du noch die Zielfunktion aufstellen.

Anmerkung: Aufgrund der Angaben haben wir es eigentlich mehr mit einem linearen GLS zu tun, als mit einem Linearen Optimierungsproblem. Wirkliche Ungleichheit tritt hier nämlich nirgends auf.
enmi72 Auf diesen Beitrag antworten »

guten morgen smile

also wenn:

Zitat:
x <=68 --> x11+x12+x13=68
y <=45 --> x21+x22+x23=45


dann müssten die anderen drei gleichungen so aussehen:





die zielfunktion würden dann lauten:


(muss minimal sein)

aber ich sehe leider immer noch nicht wie mich das zur lösung bringt verwirrt verwirrt verwirrt
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du die drei von Dir aufgestellten Gleichungen nach x2j umformst kannst Du das in die übrigen einsetzen, um die Zahl der Variablen auf drei zu reduzieren.
enmi72 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das mache erhalte ich lediglich wieder die bereits bekannte Gleichung

x11+x12+x13=68

So komme ich nicht weiter
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist schade, denn mit dieser Gleichung lässt sich die Zielfunktion auf zwei Variablen reduzieren.
enmi72 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber diese Gleichung hatte ich doch schon von Anfang an verwirrt
enmi72 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab jetzt die Gleichungen in die zielfunktion eingesetzt und erhalte:

Z=743,7 -3x -4,2x

Die Gleichung hat aber immer noch 2 unbekannte...
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig und mehr wirst Du sie mit den Angaben auch nicht reduzieren können.
Die Überlegung wäre nun, wie Du diese Funktion minimal bekommst. Welcher Wert sollte möglichst groß sein? Der Rest ergibt sich dann daraus.

Würde man die Anfangs festgestellte Gleichheit der Mengen außer acht lassen, kannst Du das ganze auch als echtes lineares Optimierungsproblem lösen, nur kommst Du dann mit zwei Variablen nicht aus, sondern benötigst alle sechs. Eine graphische Lösung fällt damit flach.
enmi72 Auf diesen Beitrag antworten »

Um die zielfunktion zu minimieren müssten die x-werte möglichst groß sein => 743,7 = 3x + 4,2x
Da es sich aber um unterschiedliche x-werte handelt kann ich sie nicht beliebig wählen...
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig und die Restriktionen haben wir ja schon in Form von Gleichungen.
Um ein Minimum zu erhalten, ist es sinnvoll erst zu maximieren. Dies ist für der Fall, denn mehr nimmt Firma drei nicht ab. Danach füllen wir maximal auf. Dies ist nur noch bis möglich, denn mehr ist nicht im 1.Lager.
Das Minimum der Transportkosten müsste demnach bei liegen.
enmi72 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Dasselbe Ergebnis liefert übrigens auch das lineare Optimierungsproblem mit 6 Variablen, wenn Du anstelle der Gleichheitzeichen bei der Lagermenge kleiner gleich (Mehr kann ja nicht geliefert werden) und bei der Liefermenge größer gleich (Weniger wird nicht abgenommen) ansetzt.
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