Vektorfeld Potential

20.05.2018, 18:16	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorfeld Potential Zeigen Sie das das Vektorfeld $\begin{eqnarray} f: \mathbb R ^3 \rightarrow \mathbb R ^3, f(x,y,z) = (2x,y-z,z-y)^T \end{eqnarray}$ ein Potential besitzt und bestimmen Sie dieses. Wie sehen die Äquipotentiallinien aus ? Meine Idee: Ein Vektorfeld hat ein potential, wenn rot(f) = 0. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{\delta }{\delta x} \\ \frac{\delta }{\delta y} \\ \frac{\delta }{\delta z} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2x \\ y-z \\ z-y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also es existiert ein Potential. Soweit noch kein problem. Dann nutzt man glaube ich folgende Bedingung: $\begin{eqnarray} \int \! f_x\, dx = \int \! f_y \, dy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_x = 2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_y=y-z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_z=z-y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \! f_x \, dx = \int \! 2x \, dx = x^2+C(y,z) \end{eqnarray}$ Dann leite ich das nach y ab und ich weiß ja was rauskommen muss. $\begin{eqnarray} f_y = C_y(y,z) = y-z \end{eqnarray}$ Dann, $\begin{eqnarray} \int \! f_y \, dy = \int \! y-z\, dy = \frac{y^2}{2} -zy + C(z) \end{eqnarray}$ Dann setz ich alles zusammen und leite nach z ab. $\begin{eqnarray} U=x^2+\frac{y^2}{2} -zy + C(z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_z = -y + C'(z) = z-y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \! z \, dz = C(z) \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} U = x^2+\frac{y^2}{2} -zy + z \end{eqnarray}$ Kann das so stimmen ? Falls ja, wie zeichne ich die Äquipotentiallinien, ich kenne sie von Physik, das die einfach alle Punkte gleichen Potentials miteinander verbinden. Aber das aus so einer Gleichung rauszulesen ist für mich etwas zu abstrakt.
21.05.2018, 12:11	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Für ein Skalarpotential gibt es 2 Voraussetzungen: - rot(f)=0 (hast du schon gezeigt) - Gebiet einfach zusammenhängend (ist aber erfüllt, da du keine Einschränkungen hast, das Gebiet also der R^3 ist und der ist konvex. Jedes konvexe Gebiet ist einfach zusammenhängend.) Beim Potential ist fast alles richtig, nur am Ende gibts einen kleinen Schusselfehler: $\begin{eqnarray} U(x,y,z)=x^2+\frac{y^2}{2}-zy+\frac{z^2}{2}+c \end{eqnarray}$ Kannst du einfach überprüfen, denn der Gradient von U ist wieder dein Vektorfeld. Mathematisch gesehen ist das ein Skalarpotential, in der Physik wird aber gern noch das Vorzeichen geändert und erst dann "Potential" genannt. Darauf solltest du achten, wenn es sich um eine Anwendungsaufgabe handelt. Die Äquipotentiallinien sind einfach nur Höhenlinien: Setze deine Potentialfunktion auf verschiedene konstante Werte und bestimme alle x,y,z Kombinationen, die diese Werte ergeben.
22.05.2018, 15:13	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, so ganz versteh ich das mit den Äquipotentiallinien noch nicht. Ich setzte z.B. $\begin{eqnarray} U(x,y,z)=x^2+\frac{y^2}{2}-zy+\frac{z^2}{2}+c = 0 \end{eqnarray}$ Dann habe ich ja unzählige Lösungen: $\begin{eqnarray} x=0, y=0, z=0, C=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=\pm 1, y=0, z=0, C=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=\pm 2, y=0, z=0, C=-2 \end{eqnarray}$ . . . Oder ich nehme an das c immer null ist, $\begin{eqnarray} x=0, y=2, z =2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=0, y=-2, z =-2 \end{eqnarray}$ aber da weiß ich dann auch nie, ob ich alle Lösungen erwischt habe.
22.05.2018, 15:50	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
im R^3 ist es auch etwas schwierig sich das Objekt vorzustellen. Aber führ doch mal eine quadratische Ergänzung durch. Dann hast du: $\begin{eqnarray} U(x,y,z)=x^2+\left(\frac{y+z}{\sqrt{2}}\right)^2=c \end{eqnarray}$ (Habe einfach mal die Konstante des Potentials mit dem konstanten Wert, auf den wir das Potential setzen, zusammengefasst zu c und auf die rechte Seite geschrieben. Ist ja eh nur irgendeine Konstante.) Jetzt sehen wir, dass es sich um einen Zylinder handelt! Naja besser würde man es wahrscheinlich sehen nach der Substitution $\begin{eqnarray} u=\frac{y+z}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ . Wenn du dir die y- und z-Achse als Vektoren vorstellst, verläuft der Vektor u entlang der Winkelhalbierenden zwischen beiden Achsen. Dein Zylinder steht jetzt senkrecht auf den beiden Achsen x und u und hat den Radius $\begin{eqnarray} \sqrt{c} \end{eqnarray}$ . Denk dir gern einige c Werte aus und und kannst die verschiedenen Zylinder zeichnen.

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