Lineare Algebra, Winkel und Ebenen

21.05.2018, 11:39	Elisa456	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Algebra, Winkel und Ebenen Meine Frage: Aufgabe : Bestimmen Sie alle ebenen, die mit der ebene E:3x1+4x3=0 die Punkte A (0/0/0) und B (4/0/-3) gemeinsam haben und die ebene E unter einem Winkel von 30° schneiden. Meine Ideen: So ich schreibe morgen ne Klausur und versteh leider nicht genau wie man hier vorangeht. Die Lösung habe ich schon, jedoch versteh ich einfach nicht wie man darauf kommt. MfG
21.05.2018, 20:35	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle möglichen Ebenen durch AB bilden eine einparametrige Schar. Diese ist zunächst zu berechnen. Der Normalvektor dieser Schar muss mit dem Normalvektor (3; 0; 4) der gegebenen Ebene E einen Winkel von 30° bilden. Mit $\begin{eqnarray} \frac {\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{\|\vec{n_1}\|\|\vec{n_2}\|} = \pm \cos 30^{\circ} \end{eqnarray}$ ergibt sich eine Gleichung für diesen Parameter. Damit ist die gesuchte Ebene bestimmt. ------------ Ich habe das jetzt (noch) nicht weitergerechnet, es soll dir zunächst nur der Weg vorgezeichnet werden. Wenn du dabei noch immer nicht weiterkommst, bitte um Rückmeldung. mY+
21.05.2018, 21:26	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Da die gesuchte Ebene durch den Nullpunkt geht, hat sie die Gleichung $\begin{eqnarray} ax_1 + bx_2 + x_3 = 0 \end{eqnarray}$ Der Koeffizient bei $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ kann oBdA (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) = 1 gesetzt werden, weil die ganze Gleichung beliebig dividiert werden kann. Mittels Einsetzen der Koordinaten des weiteren gegebenen Punktes (4; 0; -3) ergibt sich $\begin{eqnarray} 4a - 3 = 0 \ \to \ a = \frac 4 3 \end{eqnarray}$ Die Gleichung der Ebene lautet dann $\begin{eqnarray} \frac 3 4 x_1 + bx_2 + x_3 = 0 \end{eqnarray}$ Somit ist der Normalvektor der gesuchten Ebene $\begin{eqnarray} \vec {n_2} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4b \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (er wurde mit 4 erweitert), $\begin{eqnarray} \vec {n_1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist der Normalvektor der gegebenen Ebene. $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ ist nun der einzige Parameter, welcher mittels der vorhin angegebenen $\begin{eqnarray} \cos \varphi \end{eqnarray}$ - Formel zu berechnen ist. [ $\begin{eqnarray} b = \pm \frac 5 {4 \sqrt 3} \end{eqnarray}$ ] mY+
27.09.2022, 19:23	Gast00000111	Auf diesen Beitrag antworten »
warum kann man den koeffizienten einfach weglassen?
28.09.2022, 01:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Koeffizient wird NICHT weggelassen, sondern er wird 1 gesetzt, das ist ein wesentlicher Unterschied. Der Grund dafür ist, wie schon erwähnt, jener, dass die Ebene immer die gleiche bleibt, auch wenn deren Gleichung in Normalform (ax + by + cz + d = 0) mit einem beliebigen Faktor multipliziert oder dividiert wird. mY+

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