Nullstellen eines Polynoms, Jacobi-Symbol, Kongruenz

21.05.2018, 13:13	SoulOfMidgard	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen eines Polynoms, Jacobi-Symbol, Kongruenz Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} q=r=1 \end{eqnarray}$ mod 4, q,r verschiedene Primzahlen und Jacobi(q/r)=1. Zeigen Sie: (i) $\begin{eqnarray} h(x)=(x^2-q)(x^2-r)(x^2-qr) \end{eqnarray}$ hat keine ganzzahligen (rationalen) Nullstellen (ii) $\begin{eqnarray} h(x)=0 mod \end{eqnarray}$ n ist für alle natürlichen n lösbar Meine Ideen: Bei (i) zu zeigen, dass es keine ganzzahligen Nullstellen hat, würde ich darüber machen, dass q und r Primzahlen sind und somit nicht zerlegbar sind und damit $\begin{eqnarray} x^2\neq q\neq r \neq q r\ \end{eqnarray}$ , wobei letzteres natürlich daher rührt das q und r verschieden sind. Damit gibt es ja keine Nullstellen. Rational wäre analog nur mit demselben Argument in Zähler und Nenner, wenn ich mich da nicht irgendwie irre. (ii) erscheint mir etwas schwieriger. Offensichtlich ist $\begin{eqnarray} h(x)=0 mod q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h(x)=0 mod p \end{eqnarray}$ aber weiter komme ich hier bis jetzt noch nicht. Hat da jemand Ideen?

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