Ableitung einer Betragsfunktion -> Verwirrung

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RGGD Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung einer Betragsfunktion -> Verwirrung
Meine Frage:
Ich habe Ingenieurmathematik 2 und versuche alles so detailliert wie möglich zu verstehen.
Ich habe aktuell ein Verständnisproblem bei der Ableitung von Betragsfunktionen. Ich kenne die Ableitungsregeln, verstehe das Rechnen mit dem Differenzenquotienten etc. Um so mehr verwirrt mich folgendes "Problem"

Gehen wir von der ganz einfachen Betragsfunktion aus, also f(x)=|x|

Ich möchte diese nun ableiten und das schaffe ich per Fallunterscheidung:
Ich weiß, dass ich mit der Fallunterscheidung für x>0 und x<0 die Funktion abschnittweise ableiten kann und der Differenzenquotient mir zeigt, dass f an der stelle x=0 nicht differenzierbar ist.

meine Ableitung sieht dann folgendermaßen aus:

f'(x) = -1, x<0 bzw. f'(x)=1, x>0 (Und das sollte ja eine Korrekte Antwort auf die Frage nach der Ableitung besagter Funktion sein)
Mein Problem: Wenn ich Wolfram bitte, mit die Ableitung zu bilden, dann lautet diese x/(|x|)
und ich kann auch bis auf einen Punkt nachvollziehen, wieso:


Meine Ideen:
|x|=(x^2)^(1/2)

Durch das Anwenden der Kettenregel komme ich dann auch auf das Ergebnis von Wolfram,
aber mir ist nicht klar, wieso an dieser Stelle nicht das Potenzgesetz angewendet wird/werden darf.

Dann würde dort nämlich stehen: |x|=(x^2)^(1/2)=x^(2*1/2)=x

Dass das falsch ist (bzw nur richtig für x>0) , ist mir klar, aber woher weiß ich, wann ich in einem Fall die Potenzgesetze verwenden darf und wann nicht? Soweit ich meine Erfahrungen reichen, tritt diese Verwirrung nur bei Betragsfunktionen auf (oder?)
Ich bin verwirrt, bitte helft mir
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung einer Betragsfunktion -> Verwirrung
Zitat:
Original von RGGD
...
Dann würde dort nämlich stehen: |x|=(x^2)^(1/2)=x^(2*1/2)=x
...

Das "Auseinanderziehen" der Exponenten ist nur für positive Basen erlaubt. Für negative x MUSS also zuerst das Quadrat in der Klammer ausgeführt werden.
Prinzipiell sind die Potenzgesetze universell nur für positive Basen zu handhaben, andernfalls kommt man in Teufels Küche. Es gibt einige Fälle, bei denen dies letal ausgeht ...

mY+
RGGD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung einer Betragsfunktion -> Verwirrung
Danke schon mal.

Ich wollte es noch mal ganz genau wissen und war an der Mathefakultät und habe rumgefragt.
Ergebnis

(a^m)^n = a^(m*n) gilt bei beliebigen reellen m,n, also beispielsweise bei Brüchen, nur, falls a>0 ist.

Falls m,n ganze Zahlen sind, dann gilt die Gleichung auch für a<0

Nochmals danke und Grüße
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