Dichte folgender Funktion bestimmen

22.05.2018, 07:33	boris602	Auf diesen Beitrag antworten »
Dichte folgender Funktion bestimmen Hallo, in dieser Aufgabenstellung habe ich gegeben das U eine auf dem Intervall [0,1] gleichverteilte Zufallsvariable ist und $\begin{eqnarray} Y:=log(\frac{1}{U}) \end{eqnarray}$ . Leider bin ich mir nicht wirklich sicher, wie ich nun die Dichte von Y bestimmen soll. Die Funktion der Gleichverteilung ist ja f(x)= $\begin{eqnarray} \frac{1}{d-c}x \quad \forall x\in U \end{eqnarray}$ . Müsste ich hier einfach U durch x ersetzen , da ja d-c sowieso=1?
22.05.2018, 09:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechne zunächst die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ aus: Sei $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ irgendeine reelle Zahl, dann ist $\begin{eqnarray} F_Y(t) = P(Y\leq t) = P\left( \ln\left(\frac{1}{U}\right) \leq t\right) = P\left( \frac{1}{U} \leq e^t\right) \end{eqnarray}$ , letzteres weil $\begin{eqnarray} \exp \end{eqnarray}$ eine streng monoton wachsende Funktion ist. Nun sind sowohl $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} e^t \end{eqnarray}$ positiv, also kann man in der Ereignisungleichung den Kehrwert bilden, wobei sich das Relationszeichen umdreht, es geht daher weiter mit $\begin{eqnarray} F_Y(t) = P\left( U \geq e^{-t}\right) = 1-P\left( U < e^{-t}\right) = 1-F_U\left(e^{-t}\right) = \begin{cases} 0 &\;\mbox{für}\; t<0\\ 1-e^{-t} &\;\mbox{für}\; t\geq 0\end{cases} \end{eqnarray}$ , letzteres basierend auf der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F_U \end{eqnarray}$ der Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ . Für die Dichte $\begin{eqnarray} f_Y(t) \end{eqnarray}$ ist das ganze dann einfach nach $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ zu differenzieren.
22.05.2018, 10:18	boris602	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Hilfe

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