Definition von Stetigkeit

22.05.2018, 22:46

jaaaa

Definition von Stetigkeit

Meine Frage:
Hallo, könnt ihr mir bitte bei meiner Aufgabe helfen smile

.

Sei f:R->R, x->(x^2) + x + 1. Ich soll mit Definition von Stetigkeit zeigen, dass f im Punkt 0 stetig ist.

Vielen Dank!

Meine Ideen:
Mir fällt irgendwie nix ein unglücklich

(

23.05.2018, 08:40

klarsoweit

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RE: Definition von Stetigkeit
Da es bei der Definition von Stetigkeit unterschiedliche (aber natürlich äquivalente) Varianten gibt, solltest du hier als erstes mal die Definition, die du kennst, posten.

23.05.2018, 15:14

jaaaa

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RE: Definition von Stetigkeit
$\begin{eqnarray*} für jedes E(epsilon) > 0 ein passendes b>0(welches von E abhängt) angeben. | x - 0 | < b| f(x)- f(0) | < E \end{eqnarray*}$
Diese Definition müssen wir benutzen. Vielen Dank für die Rückmeldung.

23.05.2018, 15:36

klarsoweit

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RE: Definition von Stetigkeit
Zum besseren Verständnis:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 ~ \exists \delta > 0 : ~ |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0) | < \epsilon \end{eqnarray*}$ , wobei hier x_0 = 0 genommen werden soll.

Ok, dann betrachte $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(0)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ und versuche daraus eine Aussage (Ungleichung) für |x| abzuleiten.

23.05.2018, 15:46

jaaaa

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RE: Definition von Stetigkeit
|f(x)−f(0)|<ϵ
<=> |((x^2) + x + 1)- ((x_0^2) +x_0 + 1)|<ϵ
<=> |((x^2) + x + 1)- ((0^2) +0 + 1)|<ϵ
<=> |((x^2) + x + 1)- 1|<ϵ
<=> |((x^2) + x|<ϵ

ist so richtig? Hammer

23.05.2018, 15:47

jaaaa

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RE: Definition von Stetigkeit
$\begin{eqnarray*} |f(x)&#8722;f(0)|<&#1013;<br /> <=> |((x^2) + x + 1)- ((x_0^2) +x_0 + 1)|<&#1013;<br /> <=> |((x^2) + x + 1)- ((0^2) +0 + 1)|<&#1013;<br /> <=> |((x^2) + x + 1)- 1|<&#1013;<br /> <=> |((x^2) + x|<&#1013; \end{eqnarray*}$
ist so richtig? Hammer

23.05.2018, 15:59

klarsoweit

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RE: Definition von Stetigkeit
Wenn man das nur lesen könnte. geschockt

Wenn ich es richtig sehe, soll es wohl heißen:

$\begin{eqnarray*} |x^2 + x| < \epsilon \end{eqnarray*}$

23.05.2018, 16:01

jaaaa

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RE: Definition von Stetigkeit
oh, sorry, latex Hammer

ja, richtig, richtig gesehen

23.05.2018, 16:19

jaaaa

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RE: Definition von Stetigkeit
Das ist so richtig ored? verwirrt

23.05.2018, 17:35

jaaaa

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RE: Definition von Stetigkeit
ich habe x^2+x-2 bekommen. dann können wir das als (x-1)(x+2). und da (x-1)< $\begin{eqnarray*} ´, ´=<1 \end{eqnarray*}$ , (x-1)<1, hoffe so gehe ich richtig..

27.05.2018, 14:34

klarsoweit

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RE: Definition von Stetigkeit

Zitat:

Original von jaaaa
ich habe x^2+x-2 bekommen

Wieso? Ich hatte doch schon dieses bestätigt:

Zitat:

Original von klarsoweit
Wenn ich es richtig sehe, soll es wohl heißen:

$\begin{eqnarray*} |x^2 + x| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Man kann nun das Delta in jedem Fall so wählen, daß $\begin{eqnarray*} - \frac 1 2 < x < \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ ist. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} |x^2 + x| < \epsilon \Leftrightarrow |x| \cdot (x+1) < \epsilon \Leftarrow |x| \cdot \frac 3 4 < \epsilon \end{eqnarray*}$

Daraus kannst du jetzt eine Bedingung für das Delta ableiten.

(Sorry, daß ich erst jetzt wieder reinschaue. Hatte einiges um die Ohren.)

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