Unendliche Reihe

04.09.2004, 01:16	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Unendliche Reihe Hallo, ich bin mir gerade etwas unsicher, ob ich das Konvergenzverhalten einer Reihe richtig bestimmt habe. Also, gegeben ist die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{z^i}{1-z^i} \end{eqnarray}$ mit der komplexen Zahl z. Man soll bestimmen, wo die Reihe konvergiert und wo sie sogar gleichmäßig konvergiert. Jetzt hab ich wacker für z!=0 erst mal $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^{\infty} -\frac{1}{1-(\frac{1}{z})^i} \end{eqnarray}$ draus gemacht, woraus wegen $\begin{eqnarray} \frac{1}{{\|1-\frac{1}{z^n}\|}} \ge \frac{1}{{\|1\|+\|\frac{1}{z^n}\|}} \end{eqnarray}$ folgt, dass die Reihe für \|z\|>=1 keinesfalls konvergiert, weil die Reihenglieder dann noch nicht mal eine Nullfolge bilden. Bleibt also noch der Fall \|z\| < 1. Mit dem Wurzelkriterium bekomme ich jetzt raus, dass die Reihe im ganzen Einheitskreis konvergiert. Folgt aus der Konvergenz nach dem Wurzelkriterium auch die gleichmäßige Konvergenz? Oder muss ich das jetzt noch mit Cauchy oder Majorantenkriterium extra untersuchen? Danke und Gruß MisterSeaman
04.09.2004, 01:22	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi. Gleich zu deiner Frage: Nein, sie konvergiert nicht zwangsläufig auf dem gesamten Konvergenzkreis gleichmäßig, sondern lediglich auf jeder kompakten Teilmenge des Konvergenzkreises. Bestes Beispiel ist die (reelle) geometrische Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} x^k \end{eqnarray}$ die ganz sicher nicht auf (-1,1) gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-x} \end{eqnarray}$ strebt, obwohl (-1,1) das Konvergenzintervall ist. Jedoch konvergiert sie auf jeder kompakten Teilmenge von (-1,1) gleichmäßig.
04.09.2004, 01:30	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal. Aber jetzt bin ich gerade etwas verwirrt, ist der randlose Einheitskreis nicht seine eigene kompakte Teilmenge? EDIT: Natürlich nicht, wie dumm von mir. Danke!
04.09.2004, 01:35	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kenne keine relative Kompaktheit und diese ist hier auch nicht gemeint (dahin scheint deine Frage ja zu gehen). Der randlose Einheitskreis ist keine kompakte Menge in C (damit natürlich auch keine kompakte Teilmenge von sich selbst, da die Kompaktheit stets auf ganz C bezogen ist) und damit ist die Konvergenz nicht zwangsläufig auf dem ganzen Einheitskreis gleichmäßig.
04.09.2004, 01:39	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, relative Kompaktheit kenne ich auch nicht... Ich habe nur gerade intern die Begriffe offen und abgeschlossen durcheinandergeschmissen ("Eine kompakte Menge ist beschränkt und ... .") Alles klar jetzt! Danke!
05.09.2004, 11:52	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Philipp und MisterSeaman. Kompaktheit wird nicht notwendig relativ zu C bestimmt, auch wenn das besonders einfach ist, weil das Kriterium "abgeschlossen und beschränkt" greift. Die Kompaktheit einer Teilmenge X eines metrischen Raumes M ist eine Eigenschaft, die nur von X abhängt, nicht von M. Eine in C kompakte Menge X ist in jedem (auch nicht komplexen) metrischen Oberraum von X kompakt, und umgekehrt ist jede kompakte Teilmenge einer komplexen Menge X auch in ganz C kompakt. Zwischen "relativer Kompaktheit" (in einem intuitiv definierten Sinne) und "Kompaktheit" gibt es also keinen Unterschied. Zwischenfrage zu einem verwandten Thema: Zusätzlich zur "gleichmäßigen Konvergenz auf jeder kompakten Teilmenge" (1) gibt es doch noch die "lokal gleichmäßige Konvergenz" (2), d.h. jeder Punkt im Inneren des Konvergenzbereichs hat eine Kugelumgebung in der die Reihe gleichmäßig konvergiert. Stimmen die beiden Begriffe überein? Aus (1) folgt (2) (jedenfalls für Potenzreihen mit positivem Konvergenzradius), aber umgekehrt? Gruss, SirJective
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08.09.2004, 00:00	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen nein. Gleichmäßige Konvergenz bedeutet ja, dass es für jedes epsilon ein n_0 gibt mit $\begin{eqnarray} \|f(x) - f_n(x)\| < \epsilon \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} n \ge n_0 \end{eqnarray}$ und alle x. Wenn es jeweils eine Kugelumgebung um jeden Punkt gibt, in der das gilt, heißt dass noch lange nicht, dass es auch für die ganze Menge ein solches n_0 gibt, oder? Gruß MisterSeaman

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