Nilradikal bestimmen

23.05.2018, 10:12

Jörg53

Nilradikal bestimmen

Meine Frage:
Bestimme das Nilradikal von
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} N(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=\left\{ x \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} | x ist nilpotent\right\} \end{eqnarray*}$

Aber wie ich da ran komme weiss ich nicht.

23.05.2018, 10:24

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RE: Nilradikal bestimmen
$\begin{eqnarray*} x^k=0 \end{eqnarray*}$ bedeutet ja $\begin{eqnarray*} n | x^k \end{eqnarray*}$ . Jetzt kann man darüber nachdenken, was das für die Primfaktoren von n bedeutet.

23.05.2018, 11:03

Jörg53

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Mir würde nur in den Sinn kommen, dass wenn es k Primfaktoren sind, dass die Primfaktoren dann x teilen?

23.05.2018, 11:37

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Warum sollte n genau k Primfaktoren haben? Und warum sollte das eine Rolle spielen?
Die Schlussfolgerung

Zitat:

dass die Primfaktoren dann x teilen

ist allerdings die richtige smile

23.05.2018, 11:45

Jörg53

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$\begin{eqnarray*} N=\left\{ x \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} ; p|x \forall Primfaktoren p von n \right\} \end{eqnarray*}$

Aber das ist wohl nicht die gesuchte Menge oder?

23.05.2018, 12:07

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Das ist sie.
Man kann sie auch so beschreiben: Ist P das Produkt aller Primfaktoren von n, dann besteht die gesuchte Menge gerade aus den Vielfachen von P.

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