Beweis der Nichtlinearität von V(X+Y)

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Lauraundlisa1 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Nichtlinearität von V(X+Y)
Hallo alle zusammen ich habe folgende Aufgabe.


Ich habe mit der linken Seite angefangen. Also:

mit der Linearität von E folgt

=


=


=

Aus multiplizieren ergibt:

hier wäre es hilfreich wenn ich anstatt vereinfacht schreiben könnte.. Aber diese EIgenschaft gilt doch nur wenn X_2-E(X_2) und X_1-E(X_1) UNabhängig sind oder ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit den Erwartungswerten schreibt man sich ja einen Wolf. Günstiger ist es, gleich mit der Kovarianz zu arbeiten:

D.h., die Kovarianz zweier Zufallsgrößen ist definiert über , und speziell die Varianz ist die Kovarianz einer Zufallsgröße mit sich selbst, d.h., .

Ausgehend von der Linearität des Erwartungswertoperators kann man nun die Bilinearität der Kovarianz beweisen, d.h.

bzw. .

Allerdings folgt letzteres sowieso aus ersterem, wenn man noch die Symmetrieeigenschaft einbezieht. Bilinearität und Symmetrie sind nun de facto alles, was man zum Beweis von a),b) benötigt.
Lauraundlisa1 Auf diesen Beitrag antworten »

smile Hallo Lieber Hal smile

also ich musste ehrlich gesagt etwas nachdenken aber jetzt wo ich es verstehe ist es ja supereinfach
geschockt WOW geschockt


also geht die a) ganz einfach so :





eine Frage habe ich noch bevor ich die b) mache:

ist mit

gleich gemeint
ODER das verwirrt mich Extrem..

in einem Buch wurde für = gesetzt.


aber mir ist irgendwie das hier Wahrscheinlicher.. verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lauraundlisa1

Exakt so. Freude


Zitat:
Original von Lauraundlisa1
ist mit

gleich gemeint
ODER

Letzteres.

Ersteres ist übrigens einfach 0*0 = 0.


b) ist eigentlich von der Idee her dasselbe wie a), nur wird eine kleine Summationsschlacht geführt.
Lauraundlisa1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja du hast recht! Das ist eigentlich etwas was ich schon weiß. Nur kam es zur Verwirrung.
Wenn z.B f(x)=x+1 ist dann ist ja f(x)^2 =x^2+1 und (f(x))^2 = (x+1)^2 als ich mich daran erinnert habe wusste ich es wieder.

Naja ich mach mich mal dann an die b) smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lauraundlisa1
f(x)^2 =x^2+1

Sowas links sollte man vernünftigerweise gar nicht schreiben. unglücklich

Wenn schon, dann .

Genauso sollte man nicht schreiben wegen dieser Missverständnisgefahr. Also oder eben , je nachdem, was man meint!
 
 
Lauraundlisa1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier bin ich wieder smile
Ja natürlich hast du Recht. Genau das war es, was mich so verwirrt hat.

Zu b) Diese Aussage werde ich direkt beweisen. Vollständige Induktion wäre eine Alternative.



Stimm das so?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde gleich konsequent auf Summensymbole setzen, also so in der Art

,

da erkennt man dann genau auch die beiden Stellen, wo die Bilinearitätseigenschaft angewandt wurde.

Dann diese Doppelsumme aufteilen in die Anteile für und , und letztere dann nochmal in die wegen der Symmetrie wertgleichen Teile und .
Lauraundlisa1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe den Beweis eigentlich gut verstanden habe aber etwas Schwierigkeiten es aufzuschreiben..
Also nach der Doppelsumme:


Falls i>j wende Symetrieeigenschaft an. Daraus folgt i<j

=

Ich weiss nicht ob das so deutlich genug ist warum hinter der simme eine 2 steht
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na "ausführlichst" würde es so aussehen:



In letzterer nutzen wir die Symmetrie und nehmen anschließend eine Symbolvertauschung (!) der Indizes vor, ich schreibe es der besseren Verständlichkeit wegen zunächst in einem Zwischenschritt als Substitution und :

,

d.h. die gleiche Summe, wie wir sie in (*) rechts vorne schon mal haben. Eingesetzt in dieses (*) ist somit

Lauraundlisa1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
.......

,


Wenn ich ehrlich bin verstehe ich das dritte „=„ nicht. Hier ersetzt du i‘= j bzw j’=i ..
sollten wir nicht i‘=i und j=j‘ setzen ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich lasse ich da nur die Striche bei den Indizes weg. Augenzwinkern
Lauraundlisa1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke. Wir ändern die Symbole den mit umgedrehten Symbolen ist es genau das selbe Spiel mit der Symetrie etc.
Danke lieber Hal Freude
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